Ładowanie kondensatora – jak to działa?

W tym artykule dowiesz się jak wygląda ładowanie kondensatora, jak narysować wykres napięcia i prądu oraz jak obliczyć zgromadzoną energię i ładunek elektryczny.

Niezbędne podstawy

Jeśli chcesz w pełni zrozumieć dzisiejszy artykuł, musisz wiedzieć czym jest pojemność elektryczna.

Krótkie przypomnienie: pojemność (C) mówi nam o stosunku ładunku elektrycznego (Q) do potencjału (V), a jej jednostką jest farad [F]:

(1)   \begin{equation*} C = \frac{Q}{V} \end{equation*}

Innymi słowy, jeśli na obiekcie o pojemności 1 farada umieścimy ładunek 1 kulomba, to obiekt ten będzie miał potencjał 1 wolta.

Ten sam wzór odnosi się do pojemności kondensatora. Jeśli wynosi ona 1 F, to ładując go ładunkiem 1 C, między jego okładkami pojawi się różnica potencjałów o wartości 1 V.

Jeśli chcesz dokładniej zapoznać się z ideą pojemności i budową kondensatora, zajrzyj tutaj:

Pojemność elektryczna i kondensatory – artykuł na TeoriaElektryki.pl

Zaczynamy!

Ładowanie kondensatora… powietrzem

W celu wyjaśnienia różnych zjawisk elektrycznych, bardzo często posługuję się analogią wodną. Dziś wykorzystamy jednak analogią powietrzną, która moim zdaniem nieco lepiej oddaje ideę ładowania kondensatora.

Wyobraź sobie obwód złożony ze sprężarki, zbiornika i węża łączącego oba elementy. Jest też mały zawór, którym możemy otworzyć przepływ powietrza.

Naszym celem jest napełnienie zbiornika sprężonym powietrzem. W tym celu otwieramy zawór i… zaczyna się!

Ilość powietrza płynącego wężem ograniczona jest jego pojemnością (średnica 100 mm) i ciśnieniem sprężarki (5 bar). Sam zbiornik, jako że jest duży i pusty, nie stanowi żadnego dodatkowego oporu – powietrze wpada do niego pełnym strumieniem. Jeśli jednak myślisz, że napełnianie zbiornika to taka prosta sprawa i za chwilę będzie po wszystkim, to musimy sobie wyjaśnić jedną rzecz.

Jeśli kiedykolwiek używałeś ręcznej pompki do pompowania koła rowerowego, to pewnie domyślasz się co będzie się działo w miarę napełniania zbiornika. Im twardsza opona, tym trudniej wtłaczać do niej kolejne porcje powietrza. Nie inaczej jest w naszym przykładzie.

W miarę napełniania, ciśnienie powietrza w zbiorniku zacznie rosnąć. Ciśnienie jest oznaką tego, że gaz chce się wydostać. A że jedyną drogą jest wąż, łączący zbiornik ze sprężarką, to też pojawi się w nim siła przeciwstawiająca się dalszemu napełnianiu (Fz).

Im większa siła nam przeszkadza, tym gorzej idzie nam to, co akurat robimy. Prosta matematyka: jeśli sprężarka wyrzuca z siebie 5 barów, a w zbiorniku są już 2 bary, to realnie pompujemy pod ciśnieniem 3 barów. Z tego powodu pompowanie będzie szło wolniej, ale dopóki siła sprężarki Fs będzie większa od przeciwstawnej siły pochodzącej ze zbiornika Fz, dopóty będziemy pompować dalej.

No właśnie: dopóki. Prędzej czy później nadejdzie moment, kiedy ciśnienie zbiornika zrówna się z ciśnieniem sprężarki i przepływ ustanie. Jest to moment, w którym możemy uznać, że zbiornik został napełniony.

Oczywiście nie jest tak, że więcej powietrza się już w zbiorniku nie zmieści. Mając mocniejszą sprężarkę, moglibyśmy tłoczyć powietrze dalej, do wyższego ciśnienia. My jednak nie będziemy zmieniać ciśnienia zasilania, bo dziś zajmujemy się napięciem stałym, a nie zmiennym.

A skoro proces napełniania został zakończony, to zróbmy krótkie podsumowanie:

  1. Zbiornik, gdy jest pusty, nie utrudnia przepływu. Jedynym ograniczeniem jest ciśnienie sprężarki i przekrój węża.
  2. Zbiornik napełnia się stopniowo. Również stopniowo rośnie w nim siła przeciwstawiająca się dalszemu napełnianiu.
  3. Po napełnieniu zbiornika (wyrównaniu ciśnień) przepływ powietrza ustaje.

Ładowanie kondensatora prądem stałym

Ideę powietrzną mamy opanowaną, a więc przechodzimy do elektryczności. Oto nasz obwód:

Miejsce sprężarki zastąpiła bateria o napięciu 5 V, a ograniczenie przepustowości reprezentowane jest przez rezystor. Jest też gwóźdź programu, czyli kondensator (odpowiednik zbiornika) oraz styk, którego zamknięcie rozpoczyna proces ładowania.

Co teraz powinno się wydarzyć? Zamknęliśmy styk = zamknęliśmy obwód, a więc powinien popłynąć prąd. Owszem, ale prąd ten nie popłynie normalnie, dookoła, od plusa do minusa. Wszystko dlatego, że w obwodzie znajduje się jeszcze jedna przerwa, której wcześniej nie zauważyliśmy. Mowa o kondensatorze.

Kondensator to z grubsza dwie metalowe okładki oddzielone izolatorem. Izolator, jak to izolator, blokuje przepływ elektronów, więc kondensator stanowi fizyczną przerwę w obwodzie. Sugeruje nam to zresztą jego symbol:

Symbol kondensatora

Okładki kondensatora są metalowe, co oznacza, że znajduje się w nich dużo wolnych elektronów. Zaznaczmy je schematycznie na rysunku:

Teraz rozpatrzmy co dzieje się po podłączeniu kondensatora do baterii. W teorii nie powinno się nic wydarzyć, bo naczelna zasada elektrotechniki mówi: prąd płynie tylko w zamkniętym obwodzie. W środku kondensatora jest przerwa, więc prąd nie ma prawa płynąć.

Kondensator to jednak nie taka sama przerwa jak pęknięty przewód, czy przepalona żarówka. Dlaczego? Bo ma on dużą pojemność, co oznacza, że jego płytki są w stanie pomieścić baaaardzo dużo elektronów. A przynajmniej znacznie więcej, niż mają ich początkowo. Po podłączeniu baterii, ta może więc tłoczyć do kondensatora ładunki przez dłuższy czas (niczym sprężarka do zbiornika) i nie wyczuć, że cokolwiek jest nie tak.

Jednocześnie bateria może swobodnie zassać elektrony z drugiej płytki, do swojego bieguna dodatniego. Bo nie wiem czy wiesz, ale żeby bateria działała, to za każdy elektron wyrzucony z bieguna ujemnego, musi wpaść jeden elektron do bieguna dodatniego. Równowaga ładunków w baterii musi być zachowana albo prąd przestanie płynąć. Pisałem o tym szczegółowo tutaj:

Jak działa bateria? – artykuł na TeoriaElektryki.pl

Wpychanie elektronów na jedną płytkę i wyciąganie ich siłą z drugiej płytki brzmi jak sporo pracy, prawda? Niewiele ma to wspólnego ze zwykłym, zamkniętym obwodem, w którym elektrony płyną sobie niemal swobodnie od jednego bieguna do drugiego.

Owszem, patrząc na to w ten sposób, kondensator powinien generować jakiś dodatkowy opór albo pracę. W rzeczywistości tak się jednak nie dzieje. Dlaczego? Wszystko przez to, że okładki kondensatora są bardzo blisko siebie. A jako że elektrony naturalnie się odpychają, to te stłoczone na prawej płytce mogą wypychać te z lewej płytki, pomagając w ten sposób baterii.

Dzięki tej drobnej sztuczce, z punktu widzenia baterii całość wygląda jak zwykły, zamknięty obwód. Wyrzuca ona z bieguna ujemnego elektrony, a te wracają biegunem dodatnim. A że to nie są te same elektrony? Baterii nie robi to różnicy.

W ten sposób cała ta karuzela może kręcić się przez długi czas, choć nie bez końca. Bo tak jak i w zbiorniku powietrznym stopniowo narastało ciśnienie, tak i w kondensatorze na jednej okładce zacznie się kończyć miejsce, a na drugiej zacznie brakować elektronów do wypychania. Co za tym idzie, potencjał jednej płytki będzie coraz bardziej ujemny, drugiej zaś coraz bardziej dodatni.

Zmiana potencjału obu płytek wpłynie na zachowanie elektronów. Te, jak wiemy, zawsze płyną od niższego, do wyższego potencjału. Z tego powodu ujemny potencjał prawej płytki będzie coraz mocniej odpychał kolejne elektrony napływające z baterii. Z kolei dodatni potencjał lewej płytki będzie przyciągał uciekające elektrony, utrudniając im odpływ do baterii.

Innymi słowy, po obu stronach kondensatora pojawi się siła przeciwstawiająca się temu, co robi bateria. Siła ta będzie coraz większa i większa (w miarę ładowania kondensatora), aż wreszcie… nastąpi koniec. Różnica potencjałów między płytkami, zwana w skrócie napięciem kondensatora zrówna się z napięciem baterii i dalszy przepływ prądu ustanie.

W ten sposób zakończył się proces ładowania kondensatora, więc czas na krótkie podsumowanie:

  1. Kiedy kondensator jest pusty, nie stanowi żadnego dodatkowego oporu dla płynącego prądu.
  2. Ładowanie kondensatora chwilę trwa. W tym czasie jego napięcie rośnie, a ładowanie staje się coraz trudniejsze.
  3. Kiedy kondensator zostanie naładowany, prąd przestaje płynąć.

Ładowanie kondensatora – jak to policzyć?

Skoro wiesz już co dzieje się ,,pod maską” kondensatora, to przyszedł czas na konkrety, czyli liczby i wykresy. Budując obwody z kondensatorami w roli głównej, mogą Ci się przydać odpowiedzi na następujące pytania:

  • Jak długo trwa ładowanie kondensatora?
  • Jaki prąd przy okazji płynie?
  • Jak zmienia się napięcie i prąd w trakcie ładowania?
  • Jaki ładunek i ile energii zgromadził kondensator?

W drugiej części artykułu postaram się na nie wszystkie odpowiedzieć. Nie ustrzeżemy się przy okazji sporej dawki matematyki i kilku wykresów, więc jeśli tego typu rzeczy znajdują się w sferze Twoich zainteresowań, to zapraszam dalej.

Jak ,,wygląda” ładowanie kondensatora?

Na początek przypomnę rozpatrywany obwód w momencie zamknięcia styku:

Zaczniemy od wykresu napięcia, czyli odpowiednika ciśnienia w naszym obwodzie. Najpierw zaznaczmy to co już wiemy, czyli stałe napięcie baterii o wartości 5 V.

Jak będzie się kształtować napięcie kondensatora? Możemy to wydedukować na podstawie trzech znanych nam informacji:

  1. Pusty kondensator nie stanowi oporu. W obwodzie płynie maksymalny możliwy prąd (taki na jaki pozwala rezystor), a kondensator szybko się ładuje.
  2. Kiedy napięcie kondensatora rośnie, napływ ładunków spowalnia. Napięcie rośnie więc coraz wolniej i wolniej.
  3. Gdy kondensator osiągnie napięcie baterii, ładowanie zostaje zakończone.

Zgodnie z powyższym, napięcie kondensatora powinno wyglądać mniej więcej tak:

Krzywa na początku ostro pnie się w górę, potem stopniowo się wypłaszcza, aż wreszcie staje się niemal pozioma. Kojarzysz z lekcji matematyki taki kształt? Może obiło Ci się o uszy określenie funkcja wykładnicza? To świetnie, ale to nie ona. A przynajmniej nie do końca, bo mamy tutaj do czynienia z jej szczególną odmianą, zwaną krzywą eksponencjalną. Dla przyjaciół: eksponentą.

Wiesz już zatem jak ,,wygląda” napięcie kondensatora, ale taki wykres (w dodatku sporządzony ,,na oko”) nie daje żadnych konkretów. Ot widzimy, że napięcie kondensatora osiąga napięcie baterii, ale nie wiemy ile czasu to zajmuje.

Do wyłuskania liczb potrzebny nam wzór, a konkretnie równanie widocznej wyżej eksponenty. Znając je, obliczymy nie tylko napięcie w dowolnej chwili, ale też całkowity czas ładowania, energię zgromadzoną w kondensatorze, czy prąd jakim był ładowany.

Szkopuł w tym, że do wyprowadzenia wzoru na tę krzywą potrzebna jest znajomość pochodnych i całek. Takowej w tym artykule nie wymagam, dlaczego tę część ,,zabawy” zostawiam wszystkim tym, którzy wybierają się na studia związane z elektrotechniką. My natomiast przejdziemy od razu do wisienki na torcie, czyli gotowego wzoru:

(2)   \begin{equation*} U_C(t) = U_B (1 - e^{-t/RC}) \end{equation*}

Zaczynając od lewej mamy napięcie kondensatora (UC) oraz literę t w nawiasie, która mówi nam tylko tyle, że to napięcie zmienia się w czasie. Dalej widzimy napięcie baterii (UB), nawias otwierający, cyfrę jeden i… i tutaj się zaczyna.

Widoczny w równaniu symbol e to znak rozpoznawczy każdej eksponenty – jest to tak zwana liczba Eulera. Jeśli miałbym opisać ją jednym zdaniem, to powiedziałbym, że to taka młodsza siostra liczby π (pi). Co je łączy? Ot choćby fakt, że obie są niewymierne, czyli składają się z nieskończonej liczby cyfr.

e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995… (i tak dalej i tak dalej)

Liczba Eulera, choć mniej znana od liczby π, pełni bardzo ważną rolę w wielu dziedzinach. Banki wykorzystują ją do wyliczania efektywnej stopy procentowej, statystycy do obliczania przyrostu populacji, a my, elektrycy, do oglądania jak ładuje się kondensator. Dla każdego coś miłego.

Kolejnym znakiem rozpoznawczym funkcji eksponencjalnej jest fakt, że w jej wzorze liczba e jest zawsze podniesiona do jakiejś potęgi. Tutaj potęgą jest ułamek -t/RC. Symbol t to oczywiście czas wyrażony w sekundach. W mianowniku mamy zaś rezystancję pomnożoną przez pojemność kondensatora i to właśnie ten niepozorny mianownik jest kluczem do rozwiązania zagadki związanej z czasem ładowania kondensatora.

Ile trwa naładowanie kondensatora?

Może Cię zaskoczę, ale prawidłowa odpowiedź brzmi: nieskończenie długo. Albo inaczej: napięcie kondensatora nigdy nie osiągnie napięcia baterii. Dlaczego? Od matematyków usłyszysz: ,,Bo eksponenta nigdy nie osiąga wartości, do której dąży. Fizycy zaś powiedzą: ,,Bo tak wynika z praw fizyki rządzących tym procesem”.

Pamiętasz paradoks Achillesa i Żółwia, znany już od starożytności? Ten, w którym Achilles może biec dwa razy szybciej od żółwia, ale nigdy go nie dogoni, bo dystans między nimi, choć coraz mniejszy, nigdy nie zmaleje do zera? Po szczegóły odsyłam do Wikipedii:

Paradoksy Zenona z Elei – Wikipedia.org

W procesie ładowania kondensatora sytuacja jest podobna. Napięcie kondensatora cały czas rośnie, a przez to prąd ładowania jest coraz mniejszy i mniejszy, i mniejszy… I tak w nieskończoność. Po miesiącach oczekiwania napięcie kondensatora może wynosić 99,99999999999999999% napięcia baterii, ale wciąż nie będzie mu równe.

Fakt ten, choć ciekawy, nie ma jednak praktycznego znaczenia. Nie istnieją bowiem nawet multimetry zdolne pokazać różnicę napięcia z taką dokładnością. Większość z nich bardzo szybko zaokrągla wynik w górę, obwieszczając nam, że kondensator jest naładowany. Z resztą w zależności od dokładności miernika ten ostatni przeskok z 4,99 V na 5,00 V może nastąpić w różnym czasie. Jak w takim razie określić kiedy kondensator został faktycznie naładowany?

I tutaj wracamy do mianownika RC, widocznego w potędze liczby e:

(3)   \begin{equation*} U_C(t) = U_B (1 - e^{-t/RC}) \end{equation*}

Z całego tego dość długiego równania, to właśnie iloczyn RC decyduje o tym jak szybko kondensator się ładuje. Z powodu tej jakże ważnej roli nazwano go stałą czasową i nawet przypisano mu grecką literę 𝜏 (tau):

(4)   \begin{equation*} \tau = RC \end{equation*}

Stała czasowa wyrażana jest w sekundach i to ona wyznacza tempo w jakim eksponenta się zmienia (tempo przyrostu napięcia). Ale co to w ogóle znaczy? Sprawdzimy to na przykładzie. Na potrzeby dalszych obliczeń przyjmijmy wartości:

  • UB = 5 V
  • R = 100 Ω
  • C = 0,01 F

Jak łatwo policzyć, stała czasowa w tym wypadku wynosi:

(5)   \begin{equation*} \tau = RC = \qty{100}{\ohm} \cdot \qty{0,01}{\farad} = \qty{1}{\second} \end{equation*}

Podstawiając to co do tej pory wiemy do równania, otrzymujemy:

(6)   \begin{equation*} U_C(t) = \qty{5}{\volt} (1 - e^{-t/\qty{1}{\second}}) \end{equation*}

Jedyną niewiadomą pozostał czas, który możemy wybrać dowolnie. A skoro stała czasowa 𝜏 jest taka istotna, to może sprawdźmy jak będzie wyglądać napięcie po jej upływie, czyli po 1 sekundzie?

(7)   \begin{equation*} \begin{align} U_C &= \qty{5}{\volt} (1 - e^{\qty{-1}{\second}/\qty{1}{\second}}) \\ U_C &= \qty{5}{\volt} (1 - 0,367879) \\ U_C &= \qty{5}{\volt}\cdot0,632121 \\ U_C &\approx \qty{3,16}{\volt} \end{align} \end{equation*}

Po czasie równym 𝜏, napięcie kondensatora osiągnie wartość 3,16 V, czyli około 63% napięcia baterii. Na wykresie będziemy znajdować się tutaj:

Co dalej? Sprawdzając wartości napięcia po czasie równym kolejnym stałym czasowym (2𝜏, 3𝜏 itd.), zobaczymy, że:

(8)   \begin{equation*} \begin{align} 2\tau: U_C &\approx \qty{4,32}{\volt}\quad (86,47\%)  \\ 3\tau: U_C &\approx \qty{4,75}{\volt}\quad (95,02\%)  \\ 4\tau: U_C &\approx \qty{4,91}{\volt}\quad (98,17\%)  \\ 5\tau: U_C &\approx \qty{4,97}{\volt}\quad (99,33\%)  \\ 6\tau: U_C &\approx \qty{4,99}{\volt}\quad (99,75\%)  \\ \end{align} \end{equation*}

Poniżej te same punkty zaznaczone na wykresie:

Jak widać, z każdą kolejną sekundą coraz wolniej zbliżamy się do wartości 5 V. Między 2𝜏 i 3𝜏 zyskujemy 0,43 V. W następnej sekundzie to już tylko 0,16 V, potem 0,06 V i na koniec 0,02 V. W takim układzie im dłużej czekamy, tym mniejszy ma to sens – ta sama sekunda, a zysk napięcia coraz mniejszy. Dlatego też powszechnie uznaje się, że kondensator zostaje naładowany po czasie równym 5𝜏, czyli gdy osiągnie 99,33% napięcia zasilania. Dlaczego akurat wtedy? Przeszukałem wiele źródeł w poszukiwaniu odpowiedzi na to pytanie i jedyne co udało mi się znaleźć to: ,,Bo tak się przyjęło”. No więc… Tak się przyjęło i kropka.

Dobra wiadomość jest taka, że chcąc poznać czas ładowania dowolnego kondensatora, musimy znać tak naprawdę tylko dwie rzeczy: rezystancję obwodu i pojemność kondensatora. Na podstawie tych dwóch wartości obliczamy stałą czasową, mnożymy ją przez 5 i mamy wynik:

  • Dla R = 100 Ω i C = 0,01 F, stała czasowa: 1 s, czas ładowania: 5 s
  • Dla R = 50 Ω i C = 0,01 F, stała czasowa 0,5 s, czas ładowania: 2,5 s
  • R = 500 Ω, C = 0,01 F, stała czasowa 5 s, czas ładowania: 25 s

Ktoś może zapytać: A co z napięciem baterii? Przecież im wyższe jest napięcie, do którego ładujemy kondensator, tym dłużej powinno to zająć. Sęk w tym, że nie. Zwiększając napięcie baterii zwiększamy jednocześnie prąd ładowania, więc sumarycznie wychodzimy na zero. A skoro o prądzie mowa, to może warto mu się przyjrzeć?

Prąd ładowania kondensatora

O prądzie w trakcie ładowania kondensatora wiemy 3 rzeczy:

  1. Na początek ogranicza go jedynie rezystancja obwodu (kondensator nie stanowi dodatkowego oporu).
  2. Z czasem prąd maleje (bo napięcie kondensatora stopniowo rośnie).
  3. Gdy kondensator się naładuje, prąd przestaje płynąć.

Jak łatwo się domyślić, wykres prądu również będzie reprezentowany przez funkcję eksponencjalną, tyle że jakby odwrotną. Bo gdy napięcie kondensatora rośnie, to prąd maleje. I tak samo jak napięcie nigdy nie osiągnęło wartości do której dążyło (napięcia baterii), tak i prąd nigdy nie spadnie do zera. Taki urok eksponenty.

Oczywiście wyznaczenie równania dla prądu również wymaga znajomości matematyki wyższej, więc ponownie pozwolę sobie pójść na skróty. Oto wzór na prąd:

(9)   \begin{equation*} I(t) = I_0 e^{-t/RC} \end{equation*}

Równanie to jest trochę krótsze, niż w przypadku napięcia, ale pojawia się w nim tajemniczy składnik I0. Jest to tak zwany prąd w chwili początkowej, choć równie często zamiast niego znajdziemy symbol Imax, czyli prąd maksymalny. Tak naprawdę to jedno i to samo, bo skoro prąd w trakcie ładowania maleje, to znaczy, że tuż po rozpoczęciu ładowania (w chwili początkowej) ma on maksymalną możliwą wartość.

Osobiście wolę używać bardziej formalnego symbolu I0, który wynosi… No właśnie, ile? Przypomnijmy jeszcze raz nasz obwód w chwili tuż po zamknięciu styku:

Normalnie prąd w obwodach prądu stałego liczymy korzystając z Prawa Ohma:

(10)   \begin{equation*} I = \frac{U}{R} \end{equation*}

Z tym że tutaj jest ten kondensator, który wszystko psuje i którego Prawo Ohma nie uwzględnia. Na szczęście nas interesuje prąd tuż po zamknięciu styku. Wtedy kondensator jest pusty, a pusty kondensator nie stanowi dodatkowego oporu dla prądu. Równie dobrze możemy więc go wymazać z naszego obwodu i wtedy zostajemy z:

W takim układzie Prawo Ohma mówi nam, że prąd będzie miał wartość 0,05 A (lub jak kto woli 50 mA). To jest nasze I0 z którym możemy teraz wrócić do głównego równania:

(11)   \begin{equation*} I(t) = I_0 e^{-t/RC} \end{equation*}

Dalej sprawa wygląda już dość standardowo. Przyjmując pozostałe wartości takie jak wcześniej:

  • R = 100 Ω
  • C = 0,01 F

Otrzymujemy stała czasową równą 1 s. Rozwiązując równanie dla punktów będących wielokrotnością tej stałej, otrzymujemy prąd o wartościach:

(12)   \begin{equation*} \begin{align} \tau: I &\approx \qty{18,00}{\milli\ampere}\quad (36,79\%)  \\ 2\tau: I &\approx \qty{6,77}{\milli\ampere}\quad (13,53\%)  \\ 3\tau: I &\approx \qty{2,49}{\milli\ampere}\quad (4,98\%)  \\ 4\tau: I &\approx \qty{0,91}{\milli\ampere}\quad (1,83\%)  \\ 5\tau: I &\approx \qty{0,34}{\milli\ampere}\quad (0,67\%)  \\ 6\tau: I &\approx \qty{0,12}{\milli\ampere}\quad (0,25\%)  \\ \end{align} \end{equation*}

Możemy teraz do sporządzonej wcześniej krzywej napięcia dodać krzywą prądu. Bardzo fajnie widać wtedy, że obie funkcje są tak naprawdę swoim odbiciem:

Kalkulator ładowania kondensatora

Jeśli chcesz samodzielnie pobawić się zmianą stałej czasowej i obserwować efekty na wykresie, to masz dwie opcje. Pierwsza to arkusz kalkulacyjny w stylu Excela, którego sam z resztą użyłem do sporządzenia widocznych wyżej wykresów. Jest z tym jednak trochę zachodu, dlatego polecam znacznie szybsze i przyjemniejsze rozwiązanie: gotowy kalkulator ładowania kondensatora, który znajdziesz w SEPapce – mojej aplikacji dla elektryków.

Wpisujesz napięcie baterii, rezystancję oraz pojemność kondensatora, a kalkulator wylicza za Ciebie wszystkie najważniejsze wartości. Do tego rysuje interaktywny wykres napięcia i prądu:

Aplikację znajdziesz na sepapka.pl lub w sklepie Play pod nazwą SEPapka.

Ładunek i energia zgromadzona w kondensatorze

Na koniec pozostały nam mniej popularne, ale równie ważne wielkości jeśli chodzi o ładowanie kondensatora: zgromadzony ładunek elektryczny (Q) i zgromadzona energia (E lub U). Obie te wielkości są ściśle związane z napięciem kondensatora. Przez to ich wykresy mają identyczny kształt, więc ma sensu ich tutaj rysować. Inaczej wygląda za to sposób ich wyliczania..

W tym wypadku ,,inaczej” oznacza o wiele łatwiej. Dla ładunku wzór wygląda tak:

(13)   \begin{equation*} Q = U_CC \end{equation*}

A dla energii najlepiej skorzystać z:

(14)   \begin{equation*} E = \frac{1}{2}C{U_C}^2 \end{equation*}

W obu wzorach występuje napięcie kondensatora. Jeśli chcesz być super-dokładny możesz wpisać tutaj wartość obliczoną dla czasu równego 5𝜏. Jednak równie dobrze możesz po prostu przyjąć napięcie baterii. Wartości te różnią się bowiem od siebie o zaledwie 0,7%, więc błąd będzie pomijalnie mały – na pewno mniejszy niż dokładność jakiegokolwiek multimetru.

W celu zwieńczenia naszej podróży wypada pokazać jakiś przykład. Posłużą nam do tego znane już wartości:

  • UB = 5 V
  • R = 100 Ω
  • C = 0,01 F

Godząc się na błąd rzędu 0,7% przyjmuję, że kondensator naładował się do napięcia baterii (Uc = UB) i otrzymuję następujące wyniki:

  • Q = 50 mC
  • E = 125 mJ

Dziękuję za uwagę

To już wszystko jeśli chodzi o zagadnienie ładowania kondensatora prądem stałym. A skoro powiedziało się A, to wypada powiedzieć B – skoro kondensator naładowaliśmy, to trzeba go będzie rozładować. Pewnie Cię nie zaskoczę jeśli powiem, że proces rozładowania wygląda dokładnie tak samo… Tylko odwrotnie. O tym jednak porozmawiamy następnym razem.

Do usłyszenia!


Dzięki za poświęcony czas!


Bibliografia

  1. Podstawy elektrotechniki i elektroniki – M. Doległo
  2. https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Book%3A_University_Physics_(OpenStax)/Book%3A_University_Physics_II_-_Thermodynamics_Electricity_and_Magnetism_(OpenStax)/10%3A_Direct-Current_Circuits/10.06%3A_RC_Circuits – darmowa biblioteka tekstów edukacyjnych z fizyki

SEPapka
Mobilny Niezbędnik Elektryka
Sprawdź!
Podobało się? Zajrzyj na
PATRONITE
i wspieraj moją dalszą pracę!
Krótka Historia Elektryczności
A może chciałbyś przeczytać ciekawą książkę?
Pewnie!

Czytaj dalejŁadowanie kondensatora – jak to działa?

Dlaczego prąd jest sinusoidalny?

Dlaczego prąd w gniazdku ma kształt sinusoidalny? Jak nadać prądowi taki kształt i dlaczego to właśnie on jest ulubieńcem wszystkich elektrowni?

Napięcie dostarczane do naszych gniazdek i pobierany z nich prąd mają kształt sinusoidalny. Dlaczego akurat taki? W jaki sposób ten kształt powstaje? Dziś Ci o tym opowiem, ale wcześniej polecam nadrobienie dwóch poprzednich artykułów:

Artykuł #1 – Prąd stały, zmienny i przemienny w prostych słowach

Artykuł #2 – Zrozumieć sinusoidę

Wiedza na temat różnic między prądem stałym i przemiennym oraz związku sinusoidy z okręgiem pomoże Ci znacznie lepiej zrozumieć dzisiejszy temat. Zaczynamy!

Kształt prądu

Przez ostatnie sto lat nauczyliśmy się wytwarzać prąd o praktycznie dowolnym kształcie. Od najprostszego prądu stałego, po sinusoidę, prostokąt, trójkąt i piłę. Dlaczego zatem prąd wpychany przez elektrownie do naszych gniazdek ma kształt akurat sinusoidy? Nie wiem jak Tobie, ale mi sinusoida wygląda na dość trudną w wytworzeniu. Czy nie prościej byłoby wysyłać nam po prostu prąd stały? Szczególnie, że pełno jest w naszych domach elektroniki, która i tak prostuje prąd zasilaczami…

Jak sądzisz? Który z powyższych przebiegów jest najprostszy w wyprodukowaniu? Gdybyś miał wytworzyć w domu prąd zdolny do zasilenia małej diody, to mógłbyś wziąć do ręki na przykład cytrynę, po jednej stronie wbić żelazny gwóźdź, po drugiej miedziany drut i w ten sposób uzyskałbyś między nimi napięcie stałe o wartości 1 V. To oczywiście nie wystarczyłoby do rozświetlenia diody, ale już 4 takie cytryny połączone szeregowo dają jakieś 3,8 V i pobrany z nich prąd sprawi, że dioda przynajmniej będzie się żarzyć.

Eksperyment ten pokazuje, że prąd stały jest niezwykle łatwy w wytworzeniu. Zanim jednak weźmiesz się za budowę przydomowej szklarni i uprawę setek tysięcy cytryn dla swojej ekologicznej minielektrowni, to muszę nieco ostudzić Twój zapał. Kilogram cytryn kosztuje około 8 zł. Cztery cytryny zdolne ledwie rozżarzyć maleńką diodę ważą pół kilograma, a więc taka wątpliwej jakości owocowa bateria kosztuje aż 4 zł. Gdybym chciał dzięki cytrynom zagotować wodę na herbatę, to koszty liczyć by trzeba w tysiącach złotych… Tak, prąd stały uzyskiwany ze źródeł chemicznych jest drogi.

Prąd stały kontra prąd zmienny

Alessandro Volta (po lewej) prezentujący swój wynalazek Napoleonowi, za który otrzymał tytuł senatora Lombardii; źródło: www.britannica.com

Alessandro Volcie, włoskiemu wynalazcy, który w 1800 roku zaprezentował światu pierwszą baterię nawet przez myśl nie przeszło, że urządzenia te będą w przyszłości zdolne zasilać pojazdy elektryczne. Nie ulega wątpliwości, że znane dziś baterie litowe i akumulatory litowo-jonowe to urządzenia niezwykle potężne. Mimo to ilość energii jaką potrafimy w nich zamknąć i moc jaką mogą nam dać nawet dziś nie pozwala myśleć o wielkich elektrownio-magazynach baterii zasilających pojedyncze domy, nie mówiąc o całych miastach. Dlatego nic dziwnego, że pierwsze baterie bardzo szybko straciły monopol na produkcję energii, a zastąpiły je znacznie tańsze i wydajniejsze generatory.

Michael Faraday (1791 – 1867)

Około 30 lat po baterii Volty, niejaki Michael Faraday, człowiek, którego dokonania mogłyby zapełnić niejedną książkę, odkrył tzw. indukcję elektromagnetyczną. Była ona w swej naturze czymś, czego dotąd nie znano. Chemia potrafiła bowiem wytworzyć prąd stały, domeną indukcji był zaś prąd zmienny. Dziś instynktownie czujemy, że prąd zmienny, czy też dokładniej mówiąc przemienny jest w jakiś sposób lepszy. W końcu cały świat zdecydował się dostarczać odbiorcom energię elektryczną przy jego pomocy. Warto jednak wiedzieć, że od odkrycia indukcji elektromagnetycznej (1831 rok) do powstania pierwszej elektrowni komercyjnie wytwarzającej prąd przemienny (1890 rok) minęło około 60 lat. Dlaczego aż tyle?

Michael Faraday bardzo dobrze rozumiał istotę zjawiska, które odkrył. Mimo to prąd zmienny uznawany był początkowo za mniej praktyczny od stałego. No bo po co komuś prąd, który ciągle się zmienia, raz płynie w jedną, raz w drugą stronę, a wartość maksymalną osiąga tylko na chwilę? Pierwsze lampy łukowe w ogóle nie działały z prądem zmiennym i nikt nie widział powodu, by konstruować je na nowo. Z tego właśnie powodu pierwszy zbudowany przez Faradaya generator pomyślany był tak, by nieco oszukać naturę i na wyjściu wytwarzać prąd stały.

Dysk Faradaya – pierwszy generator prądu stałego; źródło: wikipedia.org

Skoro udało się zbudować generator prądu stałego (tzw. dynamo), to czy warto w ogóle przejmować się prądem zmiennym? Odpowiedź jest jedna: Warto. Okazało się bowiem, że prąd zmienny ma wiele zalet, które wyszły na światło dzienne dopiero wtedy, gdy duże firmy zaczęły bić się o dostarczenie energii elektrycznej do coraz szerszego grona odbiorców. Tam gdzie nie wiadomo o co chodzi, tam zwykle chodzi o pieniądze i nie inaczej było w tym przypadku. Przesyłanie prądu przemiennego na duże odległości było dużo tańsze, a generatory prądu zmiennego, których trzeba było budować coraz więcej, znacznie prostsze w konstrukcji od tych prądu stałego. Jako jeden z pierwszych dostrzegł to George Westinghouse, który w roku 1886 założył firmę Westinghouse Electric Corporation, a już kilka lat później otworzył w miejscowości Ames pierwszą w pełni funkcjonalną elektrownię wysyłającą w świat prąd sinusoidalny.

Ames Hydroelectric Generating Plant uruchomiona w 1891r. Po prawej generator, po lewej szafa sterownicza.

Dlaczego akurat sinusoida?

O historii podboju prądu przemiennego na pewno napiszę jeszcze niejeden artykuł. Dziś natomiast chciałbym skupić się na pytaniu dlaczego prąd przemienny przesyłany do naszych domów ma akurat kształt sinusoidalny, a nie na przykład… prostokątny, albo trójkątny? Czy sinusoida ma jakieś konkretne zalety, na które wpadli ówcześni inżynierowie? Nie do końca. Odpowiedź może Cię zadziwić, ale wybór padł na sinusoidę głównie dlatego, że… nie było innego wyboru. Uformowanie prądu w trójkąt, czy prostokąt wymaga dość zaawansowanej elektroniki, którą wynaleziono dopiero kilkadziesiąt lat później. Sinusoida była, jak się okazuje, naturalną formą prądu jaką produkował najprostszej konstrukcji generator. Dlaczego? Tajemnica kryje się w samym zjawisku jakim jest indukcja elektromagnetyczna.

Słowo indukcja oznacza ,,wzbudzenie” i w elektrotechnice rozróżniamy dwa rodzaje indukcji, których nie należy ze sobą mylić! Pierwsza to indukcja magnetyczna opisująca pole magnetyczne wokół magnesów (pisałem o niej tutaj). Indukcja elektromagnetyczna dotyczy natomiast, jak sama nazwa wskazuje, związku między elektrycznością i magnetyzmem. Chodzi w niej z grubsza o to, że jeśli weźmiemy magnes i kawałek drutu, to możemy zrobić prąd.

Duński fizyk Hans Christian Ørsted podczas jednego ze swoich wykładów w 1820 roku przypadkowo odkrył, że prąd elektryczny wytwarza wokół przewodu pole magnetyczne. Przewód taki mógł na przykład odchylić wskazówkę kompasu, czy przyciągnąć do siebie opiłki żelaza. Niezbyt widowiskowe… Co jednak gdyby udało się sytuację odwrócić i przy pomocy pola magnetycznego wytworzyć prąd? To właśnie umożliwia indukcja elektromagnetyczna.

To, że coś da się zrobić nie oznacza od razu, że jest to łatwe. jeżeli po prostu położysz magnes obok miedzianego drutu, to nic wielkiego się nie wydarzy. Trzeba tutaj skorzystać z faktu, który jest źródłem wielu innych zjawisk fizycznych (jak na przykład opisywanego przeze mnie tutaj diamagnetyzmu). Chodzi o to, że natura bardzo nie lubi zmian i, jak zauważył Faraday, zmiana pola magnetycznego nie jest tutaj wyjątkiem. Co zatem trzeba zrobić? Pamiętając, że prąd elektryczny płynie tylko w zamkniętym obwodzie, w pierwszej kolejności musimy stworzyć pętlę, łącząc końce naszego przewodu ze sobą. Aby zobaczyć czy prąd faktycznie płynie, końce przewodu możemy podłączyć do diody lub małej żarówki. Następnie bierzemy magnes i energicznie przysuwamy i odsuwamy go od pętli. Voilà! Właśnie przy pomocy pola magnetycznego (i siły naszych mięśni) stworzyliśmy prąd elektryczny!

Jeżeli chcesz wykonać ten eksperyment w domu, najlepiej będzie jeśli użyjesz magnesu neodymowego, malutkiej diody, a z drutu zrobisz kilkanaście lub nawet kilkadziesiąt pętli – im więcej drutu, tym działanie magnesu silniejsze. Ale dlaczego to właściwie działa? Heinrich Lenz, urodzony w Rosji fizyk postanowił dokładnie przestudiować temat. Sformułował on w 1834 roku prawo (nazwane później jego nazwiskiem), które stwierdza, że przewód wokół którego zmienia się pole magnetyczne reaguje tak, by tę zmianę powstrzymać. Kiedy magnes się zbliża, w pętli zaczyna płynąć prąd wytwarzający wokół niej pole magnetyczne próbujące odepchnąć magnes. Jeśli magnes się oddala, prąd płynie w pętli w drugą stronę, wytwarzające pole przyciągające magnes z powrotem. Wygląda to tak, jakby pętla miała w sobie pierwiastek złośliwości. Nic dziwnego więc, że prawo to zwane jest często Prawem Przekory.

Faraday i Lenz nie wiedzieli rzecz jasna co dokładnie dzieje się we wnętrzu przewodów, bowiem podstawowy nośnik prądu elektrycznego, elektron, odkryto dopiero 60 lat później i to on okazał się być tą wrażliwą, nielubiącą zmian cząstką. Z resztą dogłębna znajomość zjawiska nie była wtedy uczonym potrzebna. Dzięki Ørstedowi wiedzieli oni, że prąd tworzy magnetyzm, a teraz odkryli też, że magnetyzm może wytworzyć prąd. Koncepcja elektromagnetyzmu została dopełniona i nie pozostało nic innego jak zająć się magnetycznym wytwarzaniem prądu na skalę przemysłową.

Jak działa generator prądu

Poruszanie magnesem powoduje zapalenie żarówki. Jak odkrył Lenz, ruch w jedną, a potem drugą stronę powoduje przepływ prądu w dwóch różnych kierunkach, co innymi słowy oznacza przepływ prądu przemiennego (płynącego na przemian raz w jedną, raz w drugą stronę). Kto wie, może jeśli zajrzymy głębiej i spojrzymy na wykres owego prądu, to będzie nam on coś przypominał?

Czyż nie wygląda to jak daleki, niezbyt piękny kuzyn sinusoidy? Machanie magnesem ,,w tę i we w tę”, choć męczące, bezsprzecznie wytwarza prąd przemienny. Wystarczyło teraz zastąpić ten ruch jakimś powtarzalnym mechanizmem, by móc w sposób ciągły produkować prąd. A gdyby tak zamiast ruchu ,,przód-tył” wykorzystać… ruch obrotowy? Kiedy magnes się obraca, jego bieguny na przemian oddalają się i zbliżają do pętli, więc powinno to działać podobnie. Wirujący magnes to wirujące pole magnetyczne, a wirujące pole to zmienne pole i o to przecież chodzi. A może pójść o krok dalej i zamiast magnesu wprowadzić w ruch obrotowy sam przewód? Tak oto powstały dwie koncepcje generowania prądu przemiennego, które dzięki wykorzystaniu ruchu obrotowego nieco odmieniły kształt płynącego prądu.

Przyznam od razu, że powyższa animacja jest odrobinę oszukana. Magnes sztabkowy ze względu na swój kształt (i kształt generowanego pola) nieco zniekształca sinusoidę, dlatego w generatorach stosuje się magnesy o dopasowanym do danej konstrukcji kształcie. Niemniej najważniejsze w powyższej animacji jest to, że ruch obrotowy i sinusoida są ze sobą nierozerwalnie związane, o czym dokładniej pisałem tutaj:

Zrozumieć sinusoidę – artykuł na TeoriaElektryki.pl

Oczywiście w wytwarzaniu prądu przy pomocy ruchu obrotowego wcale nie chodziło o samą sinusoidę, bo tak jak wspomniałem nie była ona na początku specjalnie przydatna. Znacznie istotniejsze były dwie niepodważalne zalety. Przede wszystkim generator taki mógł być względnie małych rozmiarów, bo magnes (lub przewód) wirował i nie musiał przemieszczać się na boki. Po drugie można było do takiego ruchomego magnesu (lub przewodu) dołożyć łopatki i napędzać generator za pomocą wody płynącej w rzekach, czy spadającej z wodospadu. Pierwsze elektrownie (czy to eksperymentalne, czy komercyjne) były właśnie elektrowniami wodnymi (lub bardziej fachowo hydroelektrowniami). Dopiero później wykorzystano energię spalania do wytwarzania pary obracającej turbiną.

I choć pierwszy generator, który stworzył sam Faraday produkował prąd stały, to legenda głosi, że już wtedy zdawał on sobie sprawę z przyszłości jaka czeka prąd przemienny. Wieść niesie, że zapytany przez pewnego człowieka po co nam właściwie indukcja elektromagnetyczna i jej prąd zmienny odpowiedział, że tym kiedyś zasilać będziemy cały świat. Czy tak było naprawdę nikt niestety nie wie, a sam Faraday zmarł w 1867 roku na około 10 lat przed pierwszymi eksperymentalnymi elektrowniami prądu przemiennego.

Turbogeneratory

Patrząc na produkowane od początku XX wieku generatory nie znajdziemy w nich już prostego magnesu i pętli z kawałka przewodu. Turbogeneratory, bo tak są dziś zwane, stały się gigantycznymi urządzeniami zbudowanymi z wielu podzespołów. I choć z zewnątrz tego nie widać, to w środku cały czas korzystają one z tej samej, odkrytej w 1831 roku zasady, według której zmienne pole magnetyczne wytwarza prąd elektryczny. Co więcej do dziś wykorzystują one do tego ruch obrotowy, co widzimy po kształcie przedniej części obudowy widocznego na powyższym zdjęciu kolosa.

I choć w dzisiejszym artykule świadomie nie wchodziłem w żadne szczegóły, to myślę, że ogólny zarys produkcji prądu przemiennego jest dla Ciebie jasny. Na dogłębne zbadanie indukcji elektromagnetycznej i zwycięstwa prądu przemiennego nad stałym przyjdzie jeszcze czas. W kolejnych artykułach postaram się odpowiedzieć na pozostałe po dzisiejszej lekturze pytania:

  • W jaki sposób pierwszy generator Faradaya oszukał zmienną naturę indukcji?
  • Dlaczego przesył prądu zmiennego jest tańszy, niż stałego?
  • Dlaczego pisząc o walce prądu stałego ze zmiennym nie wspomniałem o Edisonie i Tesli?

Na zakończenie zapraszam Cię już do kolejnego artykułu na temat podstaw prądu przemiennego. Udanej lektury!

Prąd przemienny od podstaw – artykuł na TeoriaElektryki.pl

A jeżeli nie chcesz przegapić żadnej nowej publikacji, to zapraszam do polubienia mojej strony na Facebooku lub do zapisu na newsletter poniżej.


Dzięki za poświęcony czas!


Bibliografia

  1. Elektrotechnika – S. Bolkowski,
  2. Podstawy Elektrotechniki i elektroniki – M. Doległo,
  3. https://www.britannica.com/biography/Alessandro-Volta – krótka biografia Alessandro Volty,
  4. https://en.wikipedia.org/wiki/Ames_Hydroelectric_Generating_Plant – historia hydroelektrowni w Ames


SEPapka

Mobilny Niezbędnik Elektryka
Sprawdź!

Podobało się? Zajrzyj na
PATRONITE
i wspieraj moją dalszą pracę!

Krótka Historia Elektryczności

A może chciałbyś przeczytać ciekawą książkę?
Pewnie!


Czytaj dalejDlaczego prąd jest sinusoidalny?

Koniec treści

Nie ma więcej stron do załadowania