Dlaczego używamy wspólnych jednostek? Jak zapisywać duże i małe liczby? Jak wygląda notacja naukowa? Niezbędne do dalszych rozważań podstawy.
Układ jednostek SI
Jednostki takie jak kilogramy, metry, czy sekundy pomagają nam porównywać ze sobą różne wielkości. Aby wszystkie kraje posługiwały się takimi samym jednostkami, wprowadzono wspólny układ jednostek SI. Nie licząc kilku krajów, w tym Stanów Zjednoczonych, gdzie odległość mierzymy w milach, a benzynę tankujemy w galonach, większość państw zdecydowała się przyjąć wspólny standard jednostek, przedstawiony w tabeli poniżej:
Podstawowe jednostki układu SI
| Wielkość | Jednostka | Symbol |
|---|---|---|
| długość | metr | m |
| masa | kilogram | kg |
| czas | sekunda | s |
| prąd elektryczny | amper | A |
| temperatura | kelwin | K |
| liczność materii | mol | mol |
| światłość | kandela | cd |
Wymienione w powyższej tabeli jednostki to jednostki podstawowe układu SI. Na ich podstawie wyznaczono wiele jednostek pochodnych, takich jak ładunek elektryczny, będący iloczynem prądu elektrycznego i czasu:
1 C = 1 A · 1 s
Listę wszystkich podstawowych i pochodnych jednostek układu SI, ich historyczne pochodzenie, sposób zapisu oraz masę ciekawostek znaleźć można w oficjalnym dokumencie Międzynarodowego Biura Miar i Wag [1] lub w artykule na Wikipedii stworzonym na jego podstawie. Definicje wszystkich przedstawianych w artykułach wielkości fizycznych oraz sposób ich zapisu pochodzić będzie z wyżej wymienionego dokumentu.
Bardzo duże i małe liczby
Wiele używanych w fizyce wartości jest zbyt małych lub zbyt dużych, by wygodnie zapisywać je w postaci dziesiętnej. Na przykład masa spoczynkowa protonu wynosi około 0,0000000000000000000000000016726 kg. Słownie zero, przecinek zero zero zero zero zero… Trudno jest opisać tę liczbę słowami, a tym bardziej zastosować ją w jakichkolwiek obliczeniach. Z pomocą przychodzi notacja naukowa (inaczej zwana wykładniczą), według której powyższą masę protonu zapisuje się jako 
. Pozwala nam ona zatem zapisywać bardzo złożone liczby, za pomocą iloczynu liczby znacznie prostszej i pewnej potęgi liczby 10.
Cały proces zamiany zapisu dziesiętnego na wykładniczy polega na wykonaniu kilku kroków:
1. Znalezienie pierwszej cyfry znaczącej,
2. Przesunięcie przecinka za tę cyfrę,
3. Zapisanie ilości miejsc o jakie przesunięto przecinek w miejscu potęgi liczby 10 (z odpowiednim znakiem!)
4. Zapisanie poprawnego iloczynu i usunięcie zbędnych zer.
Przykład 1: Dana jest liczba 0,00045.
1. Znalezienie pierwszej cyfry znaczącej
Cyfra znacząca to pierwsza cyfra nie będąca zerem. W przypadku 0,00045 jest to cyfra 4
2. Przesunięcie przecinka za tę cyfrę,
W wyniku przesunięcia uzyskujemy liczbę 00004,5
3. Potęgą liczby 10 jest ilość miejsc, o jakie przesunięto przecinek
Przecinek przesunięto o 4 miejsca w prawo. W takim wypadku do potęgi należy dopisać znak minus: 10-4
4. Zapisanie poprawnego iloczynu i usunięcie zbędnych zer.
Za zbędne uznaje się wszystkie zera przed oraz za interesująca nas liczbą, zatem:
00004,5 · 10-4 = 4,5 10-4
Przykład 2: Dana jest liczba 740200000.
1. Znalezienie pierwszej cyfry znaczącej
Pierwsza cyfra znacząca to 7
2. Przesunięcie przecinka za tę cyfrę,
Jeśli liczba nie ma przecinka, należy założyć, że przecinek znajduje się na jej końcu, za ostatnim zerem.
W wyniku przesunięcia uzyskujemy liczbę 7,40200000
3. Zapisanie ilości miejsc o jakie przesunięto przecinek w miejscu potęgi liczby 10,
Przecinek przesunięto o 8 miejsc w lewo, a więc otrzymamy 108
4. Zapisanie poprawnego iloczynu i usunięcie zbędnych zer.
7,40200000 · 108 = 7,402 · 108
Zależność umiejscowienia przecinka od wielkości potęgi liczby 10 zebrano w poniższej tabeli:
Porównanie dwóch sposobów zapisu liczb
| Zapis dziesiętny | Zapis wykładniczy |
|---|---|
| 0,000001 | 1 · 10-6 |
| 0,00001 | 1 · 10-5 |
| 0,0001 | 1 · 10-4 |
| 0,001 | 1 · 10-3 |
| 0,01 | 1 · 10-2 |
| 0,1 | 1 · 10-1 |
| 1 | 1 · 100 |
| 10 | 1 · 101 |
| 100 | 1 · 102 |
| 1000 | 1 · 103 |
| 10000 | 1 · 104 |
| 100000 | 1 · 105 |
| 1000000 | 1 · 106 |
Poniżej więcej przykładów pomagających w zrozumieniu tego szczególnego sposobu zapisu:
Przykłady przekształceń
WAŻNE! Oprócz widocznego w powyższej tabeli sposobu zapisu z kropką (np. 
) w wielu opracowaniach wykorzystuje się znak krzyża (np. 
). Symbol 
, jest znakiem mnożenia zalecanym przez Międzynarodowe Biuro Miar i Wag [1]. Mimo to w tym, jak i w kolejnych artykułach, do opisania operacji mnożenia stosuję znak kropki, gdyż jest on częściej spotykany w Polsce zarówno w podręcznikach szkolnych jak i książkach popularnonaukowych.
Przedrostki
Jeszcze jednym ze sposobów zapisu liczb jest zastąpienie potęgi liczby 10 słownym przedrostkiem (prefiksem). Spis wszystkich obowiązujących przedrostków przedstawiono w poniższej tabeli:
Przedrostki układu SI
Przedrostki znacznie skracają czas potrzebny do wymówienia złożonej liczby. Na przykład liczbę 
możemy przedstawić jako „pięć razy dziesięć do potęgi minus dziewiątej sekundy” albo powiedzieć zwyczajnie: „pięć nanosekund”. Sposób ten wykorzystywany jest często w artykułach popularnonaukowych.
Przedrostki łączyć możemy ze wszystkimi jednostkami układu SI z wyjątkiem kilograma. Jednostkę tę ze względów historycznych postanowiono zachować jako podstawową jednostkę masy, choć posiada ona w sobie już przedrostek. Dołączając inne przedrostki pamiętać należy, że dotyczą one grama i nie powinniśmy tworzyć wynalazków w stylu milikilogramów. Przy okazji warto zaznaczyć, że przedrostki wraz z jednostkami zawsze piszemy łącznie, np. miligram (mg), kilowolt (kV), megawat (MW).
Na koniec w kilku przykładach przedstawiam jak znajomość notacji wykładniczej i przedrostków pozwala na wyrażenie dowolnie złożonej liczby w podstawowych jednostkach układu SI:
5000 ms = 5000 (10-3 s) = 5 · 103 (10-3 s) = 5 · 100 s = 5 s
1 V/cm = (1 V) / (10-2 m) = 1 · 102 V/m = 100 V/m
2,3 cm3 = 2,3 (cm)3 = 2,3 (10-2 m)3 = 2,3 · 10-6 m3 = 0,0000023 m3
Bibliografia
Zapis naukowy jest wariantem notacji wykładniczej, w którym liczba jest przedstawiana w postaci iloczynu a∙10^E, gdzie: liczba a (zwana mantysą) jest z zakresu od 1 do 9.9999… W zapisie wykładniczym liczba a może być z innego zakresu. Jeśli liczba a jest ujemna poprzedza ja znak minus. Liczba E (zwana cechą), jest liczbą całkowitą, jeśli jest ujemna to poprzedza ją znak minus. Pozdrawiam.
Dziękuję bardzo!
W zapisie inżynierskim w wykładniku potęgi stosuje się wyłącznie wielokrotność trójki.
Wydaje mi się, że przykład wyżej z masą spoczynkową protonu nie jest poprawnie nazwany 🙂 jest to notacja wykładnicza a nie naukowa.
Pozdrawiam, Mateusz Rus.
Dzień dobry!
Niestety nie znalazłem w tym temacie jednoznacznego źródła, tudzież normy dokładnie objaśniającej terminy ,,notacja naukowa” oraz ,,notacja wykładnicza”. Na polskiej Wikipedii brakuje źródeł, te z angielskiej odnoszą się do książek informatycznych, które nie są w moim odczuciu dobrym źródłem. Widzę jednak pewną prawidłowość. Źródła matematyczne, takie jak np.: ,,The Britannica Guide to Analysis and Calculus” zapis liczby przy pomocą potęgi liczby 10 określają mianem ,,notacji wykładniczej”. Inne naukowe źródła, jak książki do elektrotechniki (np. Poradnik Elektrotechnika), czy artykuły na stronie Uniwersytetu Nowego Jorku nazywają tę postać notacją naukową. Inne strony, które nie są rzetelnym źródłem wiedzy, ale próbują jakoś ,,ugryźć” temat piszą o notacji naukowej i kilku jej podtypach, jak inżynierska, wykładnicza, czy z użyciem litery E (która tak naprawdę spotykana jest jedynie w informatyce i elektronice). Jeśli znalazłeś lub ktoś z czytających znalazł jednoznaczne źródło jak to wszystko powinno się nazywać i rozgraniczać, to bardzo chętnie skorzystam z takiej wiedzy! Pozdrawiam.