Zrozumieć sinusoidę

Zrozumieć sinusoidę

Skąd bierze się sinusoida? Dlaczego ma taki kształt? Czym jest funkcja sinus? Jak narysować sinusoidę? Poznaj absolutne podstawy fali sinusoidalnej!

Trygonometria

Funkcje takie jak sinus, cosinus czy tangens kojarzymy głównie ze szkolną trygonometrią – niezbyt porywającym działem matematyki zajmującym się kątami oraz trójkątami. I choć na lekcjach trygonometrię wykorzystuje się głównie do obliczania suchych i powtarzalnych zadań, to w rzeczywistości jest ona niezwykle przydatna. Jej zasady i założenia to absolutna podstawa wielu dziedzin takich jak kartografia, astronomia czy elektrotechnika.

jak wygląda sinusoida

Niestety ujrzenie sinusów i cosinusów na co dzień nie jest proste, choć tak naprawdę otaczają Cię one dosłownie z każdej strony. Skrywają się chociażby w gniazdkach elektrycznych nadając charakterystyczny kształt napięciu zasilającemu twoje domowe sprzęty. Z tego chociażby względu warto rozumieć ideę sinusoidy i chciałbym żebyś dziś na własne oczy zobaczył w jaki sposób sinusoida powstaje i dlaczego ma ona akurat kształt fali. Nie będę przy tym zagłębiał się w puste wzory i równania, które każdy może znaleźć w internecie, czy szkolnym podręczniku. Zamiast tego trochę Ci o sinusoidzie poopowiadam, a czego nie dopowiem zobaczysz na różnych obrazkach i animacjach. Zaczynamy!

Czym jest sinusoida?

Sinusoida to nic innego jak wykres funkcji sinus. Czym jest funkcja sinus? Nie jest to teraz istotne. Kluczem jest słowo wykres, czyli pewien zbiór punkcików, które po połączeniu tworzą jeden wspólny kształt. W przypadku wykresu sinusa będzie to kształt płynącej fali zwany właśnie sinusoidą. Skąd jednak wziąć punkciki układające się w taki kształt? Odpowiedź jest prosta – trzeba zacząć poruszać się w kółko.

animacja sinusoidy

Jak widać powyżej sinusoida to kształt w jakiś sposób powiązany z okręgiem, choć nie jest to do końca takie proste… Możemy wszak narysować na kartce okrąg, następnie pociąć tę kartkę na wiele małych kawałeczków, ale niestety nie uda nam się z nich ułożyć sinusoidy. Sinusoida to bowiem kształt będący odzwierciedleniem ruchu po okręgu. Jej kompletny obraz uzyskamy zataczając pełne koło – od 0 do 360 stopni. Żeby jednak dowiedzieć się jak przerobić kółko na sinusoidę muszę wyjaśnić Ci kilka podstawowych kwestii.

Sztuka krążenia

Zacznijmy od samego okręgu. Narysowanie go wydaje się mało skomplikowane, prawda? Jasne, ale żeby narysować go w pełni poprawnie trzeba trzymać się kilku twardych zasad. W pierwszej kolejności trzeba ustalić środek okręgu, najlepiej poprzez narysowanie dwóch linii – pionowej i poziomej. Punkt ich przecięcia wyznaczy szukany środek. Następnie ustalamy sobie jakąś wielkości okręgu, czyli jego promień. Zaczepiając promień w środku okręgu i obracając dookoła wyznaczamy obwód. I teraz najważniejsze! Okrąg należy rysować zawsze w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od prawej strony. Po zatoczeniu pełnego koła zobaczymy, że linie pionowa i pozioma dzielą nam okrąg na 4 równe części zwane ćwiartkami.

jak poprawnie narysowac okrag

Oczywiście rysując swoje własne kółka na kartce nie musisz trzymać się sztywno tych reguł. Nie musisz właściwie trzymać się żadnych reguł – w końcu to Twoja kartka. Ruch przeciwny do ruchu wskazówek zegara wskazuje przede wszystkim kierunek, w którym wartość kąta rośnie – od 0, przez 90, 180, aż do 360 stopni. Dlaczego akurat tak? Trudno powiedzieć. Ktoś tak kiedyś ustalił, wszyscy robimy to w ten sam sposób i nie ma powodu, by ,,wymyślać koła na nowo”… A skoro już o kątach mówimy, to warto przyjrzeć się im nieco dokładniej.

Łuki i kąty

Drogę pokonaną przez wirujący po okręgu promień możemy opisać dwojako. Albo poprzez kąt pod jakim jest nachylony, albo poprzez długość łuku jaki do tej pory zakreślił. Jednostką miary kątowej są stopnie, a jednostką miary łukowej nieco mniej znane radiany. Którą jednostką lepiej się posługiwać? Tak naprawdę nie ma to znaczenia bo kąty na radiany (i odwrotnie) da się z łatwością przeliczyć.

przeliczanie stopni i radianow

Przyznam, że w matematyce bardziej uniwersalną jednostka są radiany. Nam, osobom zainteresowanych elektrotechniką, mimo wszystko bardziej przydadzą się kąty wyrażone w stopniach i to na tej mierze się od teraz skupimy. A skoro sinusoida związana jest z ruchem po okręgu, to czas sprawdzić do czego te całe kąty mogą nam się przydać.

Jak wyznaczyć sinus kąta?

Naszym celem jest narysowanie sinusoidy, która jak wspomniałem jest wykresem funkcji sinus. Funkcja sinus to pewien wzór, który na podstawie informacji o promieniu i kącie wyrzuca jakąś liczbę. O ile promień dookoła danego okręgu jest wszędzie taki sam, o tyle kąt pod jakim jest nachylony może się zmieniać, a to sprawia, że funkcja sinus może wyrzucić cały przekrój różnych liczb. Mógłbym oczywiście podać ci po prostu wzór funkcji sinus i zakończyć ten wątek, ale chyba znacznie ciekawiej będzie, jeśli ci tego sinusa pokażę. Oto on:

jak wyglada sinus

Załóżmy, że promień podróżujący po okręgu osiągnął kąt nachylenia równy 30°. Co robi funkcja sinus? Jej rolą jest wyznaczenie wysokości jaką owy promień osiągnął. To ta gruba, niebieska kreska, która jak widać kończy się w połowie maksymalnej wysokości. Wysokość okręgu jest oczywiście dokładnie taka jak promień, stąd możemy powiedzieć, że funkcja sin(30°) wynosi dokładnie 1/2 promienia. Im większy okrąg, tym jest to oczywiście większa liczba, co widać na poniższej grafice:

sinus a wielkosc okregu

A jak zachowuje się funkcja sinus dla innych kątów? Na przykład dla kąta 60° osiąga ona wartość około 0,87 promienia. Dalej robi się ciekawie, bo docieramy do kąta 90° – punktu o maksymalnej wysokości gdzie wartość funkcji sinus równa jest pełnej długości promienia. Przechodząc do drugiej ćwiartki okręgu kąt rośnie dalej, ale promień zaczyna opadać przez co wartości zaczynają się powtarzać – sinus kąta 120° jest taki sam jak 60°, kąta 150° taki sam jak 30° itd.

sinus dodatni

Mijając kąt 180° docieramy do trzeciej ćwiartki. Tutaj wartości spadają poniżej punktu początkowego, po matematycznemu powiedzielibyśmy ,,poniżej zera”. Tutaj punktem o maksymalnej, ujemnej wysokości jest kąt 270° – tam sinus ponownie osiąga wartość promienia, z tym że ze znakiem minus. Dalej, w czwartej ćwiartce ponownie wracamy do punktu zerowego – sinus kątów 0° i 360° jest taki sam i wynosi 0.

sinus ujemny

Gdybyśmy tak krążyli po okręgu bez końca i przez cały czas śledzili wartość funkcji sinus, to oczom naszym ukazałby się charakterystyczny, falujący kształt.

sinusoida animacja

Funkcja sinus w ruchu wygląda całkiem fajnie, ale naszym ostatecznym celem jest sporządzenie jej wykresu czyli sinusoidy. Zobaczmy zatem jak to najłatwiej zrobić.

Jak narysować sinusoidę?

Wykresy to z natury statyczne obrazki. Ale w Jaki sposób pokazać ruch po okręgu na nieruchomym rysunku? Jest na to sposób. Sinusoida to wykres mający za zadanie pokazać wartości funkcji sinus dla każdego możliwego kąta – od 0° do 360° . Wystarczy w takim razie obok naszego okręgu narysować nowy układ współrzędnych, na osi poziomej zaznaczyć kolejne kąty, a na koniec po prostu przenieść wszystkie wartości. Procedura wygląda mniej więcej tak:

jak narysowac sinusoide

Widoczna na powyższym rysunku pełna sinusoida to wykres funkcji sinus dla kątów od 0° do 360°. Moglibyśmy co prawda zakreślać kolejne kółka, ale wtedy nie odkrywamy już tak naprawdę niczego nowego, bo kształt sinusoidy się po prostu powtarza. O funkcji która się powtarza mówimy, że jest okresowa, a stały, powtarzalny fragment nazywamy okresem.

okres sinusoidy

Częstotliwość i amplituda sinusoidy

Na sam koniec jeszcze jedna istotna rzecz. Jak mówiłem na początku sinusoida jest swego rodzaju odzwierciedleniem ruchu po okręgu. A skoro jest ruch, to czy prędkość wirowania ma wpływ na sinusoidę? Jak najbardziej! Podstawowym sposobem wyrażenia prędkości w ruchu po okręgu jest tak zwana prędkość kątowa. Tak jak normalną prędkość wyrażamy w metrach na sekundę, tak tę kątową wyrażamy albo w kątach na sekundę [°/s] albo w radianach na sekundę [rad/s], w zależności od tego która jednostka jest nam bliższa. Istnieje jednak jeszcze jeden sposób na wyrażenie prędkości kątowej, wręcz stworzony dla funkcji okresowych. A jest nimczęstotliwość.

Częstotliwość traktować możemy jak liczbę obrotów na sekundę. Pamiętamy, że jeden obrót po okręgu to jeden pełny okres sinusoidy, więc bardziej fachowo będzie powiedzieć, że częstotliwość to liczba okresów na sekundę. Jednostką częstotliwości jest herc [Hz] i jeśli sinusoida faluje z częstotliwością 1 herca, to znaczy że jeden jej okres zajmuje dokładnie sekundę. Dwa razy większa prędkość falowania sprawia, że w jednej sekundzie mieszczą się dwa okresy, a to daje częstotliwość 2 herców.

co to jest czestotliwosc

Oprócz tego, że sinusoida może być ,,zagęszczana” to może ona też być rozciągana w górę i w dół. Maksymalną wartość jaką osiąga sinusoida nazywa się amplitudą. Tym samym Im większy promień okręgu, tym większa amplituda i bardziej ,,rozciągnięta” sinusoida.

co to jest amplituda

I oto cała sinusoida

Mam nadzieję, że przedstawione w artykule przykłady pomogły Ci zrozumieć czym tak naprawdę jest sinusoida, skąd bierze się jej kształt i co na niego wpływa. Jeżeli chcesz pójść dalej tym tropem i dowiedzieć się jak produkuje się prąd w kształcie sinusoidy, to zapraszam do kolejnego artykułu:

Dlaczego prąd jest sinusoidalny? – artykuł na TeoriaElektryki.pl

Jeśli nie chcesz przegapić kolejnych artykułów na temat Teorii Elektryki, to śledź mnie na facebook’u, bądź zapisz się poniżej na newsletter.


Dzięki za poświęcony czas!


Bibliografia

  1. Podstawy elektrotechniki i elektroniki – M. Doległo,
  2. Matematyka, podręcznik do liceów i techników klasa I – K. Kłaczkow, M. Kurczab, E. Świda,
  3. CRC Handbook of Chemistry and Physics – W. M. Haynes,

Czekasz na więcej? Napisanie jednego artykułu zajmuje mi około dwa tygodnie. Chcę by moje treści były maksymalnie przydatne, rzetelne i poparte wiedzą naukową. Jeśli masz ochotę dołączyć do grona znawców Teorii Elektryki to zapraszam do zapisania się na newsletter lub do zajrzenia na facebook’a. W ten sposób nie umknie ci żaden nowy artykuł.

*Zapisując się do newslettera, zgadzasz się na otrzymywanie drogą mailową informacji o nowych artykułach i wydarzeniach związanych z serwisem TeoriaElektryki.pl

Ten post ma 5 komentarzy

  1. Piotr

    Bardzo dobry artykuł,jasno wytłumaczone animacje super

  2. Robert

    To niestety pozostaje mi tylko czekać.
    A czy planuje pan coś jeszcze o prądzie przemiennym? tematy typu:napięcie skuteczne,moc czynna ,bierna,wykresy wektorowe itp?Przyznam się że bardzo mnie to interesuje a sam tego nie mogę ogarnąć?
    Wczoraj znalazłem przypadkiem pana bloga i chociaż nie przeczytałem wszystkich jeszcze artykułów to przyznaje że jestem pod ogromnym wrażeniem pańskiej wiedzy i może w końcu uda mi się ogarnę ten bardzo trudny prąd przemienny.

    1. TeoriaElektryki

      Oczywiście. Planuję omówić prąd przemienny od A do Z i to już w najbliższej przyszłości – dlatego właśnie powstało ,,Zrozumieć sinusoidę” jako podstawowy wstęp do tychże zagadnień. W nadchodzących artykułach skupię się na tematach takich jak: Dlaczego napięcie jest przemienne? Co to jest wartość skuteczna? Czym jest amplituda, pulsacja i przesunięcie fazowe? Następnie przejdę do obwodów jednofazowych, czyli do energii, mocy czynnej, biernej i pozornej oraz do specyficznej roli cewek i kondensatorów w tych obwodach. Równolegle będę oczywiście rozwijał temat obwodów prądu stałego i magnetyzmu. Chcę wyjaśnić czym jest indukcja magnetyczna, jak działa cewka, dlaczego powoduje ona przesunięcie fazowe i jak zachowuje się w obwodach prądu stałego. To samo z kondensatorem i rezystorem. Także tematów jest sporo, ale myślę, że jest na co czekać. Dzięki za zainteresowanie!

  3. Robert

    A kiedy pojawi się coś o układach trójfazowych?

    1. TeoriaElektryki

      Nieprędko. Jak widać po moich artykułach nie zbliżyłem się jeszcze nawet do opisu układów jednofazowych. Biorąc po uwagę, że średnio jeden artykuł ukazuje się co półtora tygodnia, to sieci trójfazowe zaczną się najpewniej dopiero w przyszłym roku.

Dodaj komentarz