Geniusz Praw Kirchhoffa

You are currently viewing Geniusz Praw Kirchhoffa

O czym mówią Prawa Kirchhoffa? Na czym polega ich magia i dlaczego nie mówili nam o niej w szkole? Zapraszam do lektury!

Kirh… Kircho… Kirchhoff!

Gustav Kirchhoff trudne nazwisko miał… Jego niemieckojęzyczne korzenie sugerują, iż powinniśmy wymawiać je jako kirśhof, jednak w Polskiej wersji, odkąd pamiętam, było to kirhof. Na szczęście artykuł ten nie będzie traktował o fonetycznych tajnikach naszego języka, a o dokonaniach pana Gustava.

Portret Gustava Kirchhoffa
Gustav Kirchhoff (1824 – 1887)

Widoczny na portrecie niemiecki uczony jest jednym z tych, którzy w swoim życiu odkryli tyle praw i prawideł, że niekoniecznie znani są z tych najbardziej istotnych dla świata nauki. Spośród opisanych przez niego zasad jakim podlega elektryczność, elektrochemia i spektroskopia, to te ostatnie, w mojej ocenie, najbardziej przysłużyły się postępowi technologicznemu. Spektroskopia pozwala wszak zajrzeć w głąb związków chemicznych, a także w odległe zakątki kosmosu – bez niej nigdy nie odkrylibyśmy całego szeregu pierwiastków, ani składu chemicznego gwiazd czy planet.

Problem Kirchhoffa

I choć polecam z całego serca poczytać o spektroskopii (cóż za fascynująca dziedzina badań!) to rozsądek nakazuje mi powstrzymać wodzę fantazji i napisać coś o elektryczności. W tym kontekście pan Kirchhoff odkrył dwie ważne kwestie, które nazwano kolejno Pierwszym i Drugim Prawem Kirchhoffa. Zwykle w książkach i podręcznikach oba te prawa opisane są na tyle beznamiętnie, że nie ma sensu ich tutaj cytować. Zamiast tego pokaże Ci wszystko tak, jak robi się to najlepiej – na obrazkach!

W czasach kiedy Kirchhoff „bawił” się elektrycznością, nikt tak naprawdę nie słyszał jeszcze o małych kulkach zwanych elektronami. Powszechna koncepcja była taka, że elektryczność to rodzaj płynu zamkniętego we wszystkich ciałach. W części z nich (izolatorach) płyn ten był unieruchomiony, a w innych (przewodnikach) dało się nim poruszyć. Do tego potrzebna była jednak siła elektromotoryczna i w tamtym czasie (około 1845 roku) znane były jej dwa główne źródła:

  • bateria (potoczne określenie ogniwa Volty)
  • generator prądu (rodzaj wirującej maszyny, opracowanej przez Faradaya)

Kirchhoff doskonale wiedział, że jeśli połączy baterię z grzałką za pomocą kawałka drutu, to w takim obwodzie popłynie prąd. W jego czasach studenckich tak proste obwody przestały być już jednak wystarczające. Wszystko za sprawą idei elektrycznego oświetlenia, która rozpalała umysły badaczy marzeniami o tysiącach żarówek rozświetlających miasta. I choć w tamtym okresie ludzkość nie wynalazła jeszcze żarnika, który nie spaliłby się po kilku chwilach, to przyszłość elektryczności stała się jasna – trzeba było zrozumieć ideę bardziej skomplikowanych obwodów, aniżeli bateria, kawałek drutu i jeden odbiornik.

Zainteresowany rozpracowaniem zagadnienia Kirchhoff znał w zasadzie tylko jedną zasadę jaką rządzi się obwód elektryczny. Było nią opracowane przeszło 20 lat wcześniej prawo jego rodaka – Georga Ohma. Wydedukowana przez niego zależność I = U/R pozwalała bez trudu obliczyć prąd jaki popłynie przez grzałkę lub żarówkę o znanej rezystancji, zasilaną baterią o znanym napięciu.

przykład wykorzystania prawa Ohma

Chcąc zająć się bardziej złożonymi obwodami, Gustav Kirchhoff zaczął zastanawiać się czy można jakoś zaadaptować Prawo Ohma do sytuacji, w której odbiorników jest więcej. Innymi słowy: czy da się za jego pomocą przewidzieć jaki prąd popłynie przez więcej niż jeden odbiornik?

I tutaj pojawia się problem. Prawo Ohma stanowi bowiem: daj mi napięcie baterii i rezystancję odbiornika, a powiem Ci jaki prąd popłynie w obwodzie. Stwierdzenie to nie daje nam odpowiedzi w przypadku gdy odbiorników jest pięć, dziesięć lub tysiąc i to połączonych ze sobą w złożoną sieć. Ktoś mógłby zapytać: ale po co w ogóle bawić się w matematykę, skoro można po prostu wykonać taki układ i zmierzyć interesujący nas prąd? Pod pewnymi względami ma to sens, wszak w czasach Kirchhoffa istniały już pierwsze amperomierze (czy też galwanometry i multiplikatory [ang. multiplier], jak je wtedy nazywano). Założę się też, że wielu uczonych przed Kirchhoffem tak właśnie testowało swoje obwody. Problem z tą metodą jest jednak taki (nazwijmy ją na-chybił-trafił), że jeśli nie wiemy jakimi prawami rządzi się taki układ, to jego pierwsze uruchomienie może być jednocześnie ostatnim. Wyobraź sobie premierowe załączenie rozległej sieci oświetlenia miejskiego bez wiedzy na temat tego jaki prąd popłynie przez jaką żarówkę. W najlepszym wypadku nic się nie wydarzy. W najgorszym mieszkańcy zobaczą tylko jeden błysk, a po nim ciemność.

Gustav Kirchhoff, oprócz tego, że trudne nazwisko miał, był też niezwykle wytrawnym matematykiem. Oznacza to, że pochodne, całki i granice nie były mu straszne, dzięki czemu mógł bez trudu znaleźć rozwiązanie nawet najbardziej skomplikowanego układu. Jego prawdziwy geniusz polegał jednak na tym, iż dostrzegł on coś, co przez ostatnie 20 lat z jakiegoś powodu umykało innym uczonym, mianowicie: bateria nie ma pojęcia o tym, co zostało wpięte do obwodu. W rzeczywistości bateria robi tylko jedną rzecz: po prostu pcha przez przewody tyle prądu ile może, a to oznacza, że nawet nawet gdyby odbiorników były tysiące, to z jej punktu widzenia stanowić one będą jedną, wielką przeszkodę. Co nam to daje?

jak wyznaczyć rezystancję zastępczą?

Ta drobna zmiana spojrzenia tak naprawdę załatwia cała sprawę. Jeśli bowiem zastąpimy układ rezystorów jedną, nazwijmy to, rezystancją zastępczą (Rz) to nagle Prawo Ohma zaczyna na powrót działać i nieść nam w podarku informację o płynącym prądzie. Oczywiście Kirchhoff wiedział, że to nie takie proste. Aby wynik Prawa Ohma był dobry, rezystancja zastępcza musiała dokładnie odzwierciedlać układ zastępowanych odbiorników. W przypadku dwóch rezystorów z powyższego obrazka to nie problem – zgodnie z intuicją możemy dodać do siebie ich rezystancje i nic nie powinno wybuchnąć. Czasami jednak układ odbiorników może być odrobinę bardziej skomplikowany.

Co w takiej sytuacji powinniśmy zrobić? Dodać wartości rezystancji do siebie? Pomnożyć je przez siebie? Podzielić? A może wszystkiego po trochu? Kłopot w tym, że nawet jeśli uda nam się wydedukować wartość rezystancji zastępczej powyższego układu, to przy jego drobnej modyfikacji będziemy musieli wszystko zaczynać od nowa. Zamiast tego wolelibyśmy znaleźć jakiś uniwersalny przepis – coś, co pozwoli nam w każdej sytuacji zastąpić układ rezystancji jedną rezystancją zastępczą. Aby to zrobić Kirchhoff musiał przede wszystkim dobrze zrozumieć jak działa elektryczność i poznać podstawowe zasady jej przepływu.

Układ równoległy i szeregowy

Odbiorniki, takie jak rezystory i żarówki, fachowo nazywa się dwójnikami. Jest tak dlatego, że posiadają one dwa punkty podłączenia (inaczej dwa zaciski), za pomocą których wpinamy je do obwodu. Z jednej strony prąd elektryczny wpływa, a z drugiej wypływa. Punkty te możemy sobie nawet ponumerować jako 1 i 2.

Jeśli weźmiesz sobie nawet najbardziej skomplikowany układ rezystorów jaki znajdziesz i naniesiesz na niego takie numerki, to zobaczysz, że w gruncie rzeczy zbudowany jest on tak naprawdę z dwóch rodzajów połączeń:

  • rezystory połączone ze sobą w szeregu, jeden za drugim – końcówka numer 2 łączy się z końcówką numer 1 kolejnego rezystora
  • rezystory połączone ze sobą równolegle, jeden nad drugim – końcówka numer 1 łączy się z końcówką numer 1 sąsiada, a końcówka 2 łączy się z końcówką 2.

Nie zmyślam – jeśli chcesz połączyć ze sobą dwa rezystory z zamiarem by przez każdy z nich płynął prąd, to masz tylko dwie, pokazane wyżej możliwości. A co jeśli rezystory są 3? Cóż… wtedy liczba kombinacji rośnie.

Oczywiście to, że liczba kombinacji rośnie, nie oznacza od razu, że sprawa się komplikuje. W gruncie rzeczy każdy z tych przykładów to nic innego jak kombinacje układu szeregowego i równoległego:

  • Pierwszy obrazek to połączenie czysto szeregowe,
  • Drugi to połączenie równoległe,
  • Trzeci to mieszanka dwóch poprzednich: oba rezystory po prawej połączone są ze sobą równolegle i wspólnie łączą się szeregowo z trzecim rezystorem,
  • Czwarty to ponownie mieszanka: dwa niżej połączone są szeregowo i wspólnie łączą się równolegle z rezystorem nad nimi.

Gustav Kirchhoff również zauważył tę prawidłowość. Dzięki temu wiedział, że jeśli tylko rozpracuje układ równoległy i szeregowy, wówczas będzie w stanie zredukować niemal każdą skomplikowaną sieć odbiorników do jednej, wielkiej rezystancji zastępczej. Znając jej wartość, byłby w stanie bez trudu obliczyć wartość płynącego w obwodzie prądu, a wraz z nią cały szereg innych jego parametrów.

Nie zaskoczę Cię pewnie, kiedy napiszę, że udało mu się to zrobić. Wyczyn te składał się niejako z dwóch aktów, które na jego cześć nazwano Pierwszym i Drugim Prawem Kirchhoffa – zależnościami, które pozwalały zastosować Prawo Ohma w dowolnie skomplikowanym obwodzie. Jak to wszystko rozpracował? Zapraszam do dalszej lektury.

Napięciowe Prawo Kirchhoffa

Pierwsze Prawo Kirchhoffa wydaje się łatwiejsze i bardziej oczywiste, ale to tylko pozory. Dlatego my zaczniemy od Drugiego Prawa Kirchhoffa, zwanego napięciowym lub oczkowym, które pomaga zrozumieć szeregowy układ rezystorów. W tym momencie poprzeczka pójdzie nieco w górę, gdyż będziemy dość mocno opierać się na idei spadku napięcia. Za chwilę pokrótce ją objaśnię, ale jeśli mimo tego temat ten będzie dla Ciebie niejasny, to poświęć chwilę na zapoznanie się z dedykowanym mu artykułem:

Jak rozumieć spadek napięcia? – artykuł na Teoriaelektryki.pl

Na początek cofnijmy się ponownie do najprostszego obwodu – tego, którym rządzi Prawo Ohma.

przykład wykorzystania prawa Ohma

Bateria ma w takim układzie jedno zadanie – generować napięcie i przy jego pomocy rozpędzać elektrony. Rezystor robi coś zupełnie odwrotnego – odbiera energię elektronom i wyhamowuje je, przez co dochodzi w jego wnętrzu do spadku napięcia. Innymi słowy – tyle napięcia ile wygeneruje źródło, tyle w całości „zużywa” się na odbiorniku.

Ubaterii = Uodbiornika

Jak wspominałem wcześniej, bateria nie ma pojęcia ile odbiorników zostało podłączonych do obwodu. Przekazuje ona elektronom tyle energii, by te dotarły do jej drugiego bieguna, a to jak rozdysponowują ją po drodze nie ma dla niej znaczenia. Trudniejsze przeszkody spowodują większy spadek napięcia, łatwiejsze mniejszy, ale koniec końców elektrony zużyją całą energię, by jak najszybciej dostać się do upragnionego drugiego bieguna baterii. Jeśli zatem odbiorników jest więcej niż jeden, to:

Ubaterii = Uodbiorników = Uodbiornika-1 + Uodbiornika-2 + Uodbiornika-3 + …

O tym właśnie mówi Napięciowe Prawo Kirchhoffa – elektrony chcą przedostać się przez obwód jak najszybciej, a to oznacza, że w sumie zużyją na rezystorach całą dostępną energię z baterii. Ale co nam to tak naprawdę daje? My chcieliśmy wiedzieć jak wyznaczyć rezystancję zastępczą rezystorów połączonych szeregowo, a nie to ile energii pochłaniają! Bez obaw, do tego za moment dojdziemy, ale potrzebujemy jeszcze odrobinę informacji.

Gustav Kirchhoff wiedział, że elektryczność jest podobna do wody, dlatego i my na moment pójdziemy tym tropem. Wyobraź sobie zamknięty rurociąg, w którym pompa tłoczy wodę. Załóżmy, że jest ona w stanie tłoczyć aż 100 L płynu na minutę, o czym informuje nas umieszczony tuż za nią przepływomierz.

A teraz umieśćmy w rurociągu przewężenie – może to być zator, albo kawałek węższej rury, którą jakiś żartowniś wspawał, by uprzykrzyć życie sąsiadom pobierającym wodę z tego obiegu. Przewężenie oznacza, że pompa nie może już tak swobodnie tłoczyć wody i napotyka opór. Siłą rzeczy nie ma mowy, by przy tym samym ciśnieniu przecisnąć przez „wąskie gardło” tyle samo wody co wcześniej. Koniec końców, ciśnienie 3 bar generowane przez pompę wystarcza na tłoczenie 50 litrów wody na minutę.

Widzisz co się stało? Zwężka ograniczyła możliwości pompy i przepływ wody spadł w całym obwodzie o połowę. Teraz dodajmy jeszcze jedną zwężkę, tuż obok:

Teraz przepływ spadł do 25 L/min. Tyle właśnie wody płynie przez przepływomierz, jedną zwężkę i drugą zwężkę. Tymi przykładami próbuję pokazać Ci, że każda przeszkoda, nie ważne w którym miejscu się znajduje, zmniejsza przepływ w całym układzie. Eksperymenty Kirchhoffa i wielu przed nim potwierdzały, że ta zależność dotyczy również elektryczności, co tylko wzmacniało przeświadczenie, iż jest ona płynem niezwykle podobnym do wody.

Tym samym wiemy o prostym układzie rezystorów połączonych szeregowo już dwie rzeczy:

  • Wiemy ile wynosi całkowite napięcie, jakie wykorzystają połączone rezystory,
  • Wiemy, że w całym obwodzie, a więc przez każdy rezystor, popłynie taki sam prąd.

Mamy zatem strzępki informacji zarówno o napięciu jak i o prądzie. Mimo to dalej nie mamy zielonego pojęcia o rezystancji zastępczej. Wydaje się zatem, że tylko oddalamy się od naszego celu, ale to tylko pozory. Tak naprawdę właśnie zdobyliśmy ostatni niezbędny element układanki i teraz zadzieje się magia. Przypomnijmy równanie napięciowe, ale żeby uprościć sprawę pozostawmy tylko dwa odbiorniki:

Ubaterii = Uodbiorników = Uodbiornika-1 + Uodbiornika-2

W tym momencie Kirchhoff zrobił bardzo sprytną rzecz. Wiedząc, że przez wszystkie odbiorniki płynie taki sam prąd i że jego wartość ograniczona jest całkowitą rezystancją w obwodzie, zgodnie z Prawem Ohma zapisał:

Uodbiorników = Iobwodu ꞏ Rodbiorników

Oczywiście powyższego równania nie był w stanie rozwiązać. Znał co prawda Uodbiorników (bo wynosi ono tyle co napięcie baterii), ale nie wiedział ile dokładnie wynosi prąd i całkowita rezystancja. A gdyby rozpatrywać każdy odbiornik pojedynczo? W końcu płynie przez nie taki sam prąd. Czy to coś pomoże?

Uodbiornik-1 = Iobwodu ꞏ Rodbiornik-1

Uodbiornik-2 = Iobwodu ꞏ Rodbiornik-2

Oba równania są jak najbardziej prawdziwe, bo to ile każdy z odbiorników „zużyje” napięcia zależy od płynącego przez niego prądu i jego rezystancji. Niestety i tych równań nie da się rozwiązań, bo o ile wartości rezystancji są łatwo dostępne (można odczytać je na rezystorach, bądź przemierzyć wcześniej omomierzem), to prądu i obu spadków napięć nie jesteśmy w stanie łatwo wydedukować.

I choć każde z trzech powyższych równań samo w sobie jest nierozwiązywalne, to łącząc je okaże się, że nagle dają nam one tak wyczekiwaną przez nas odpowiedź. Wystarczy tylko wziąć nasze pierwotne równanie napięć w obwodzie:

Uodbiorników = Uodbiornika-1 + Uodbiornika-2

I w miejsce każdego składnika podstawić odpowiadający mu fragment jego równania:

Iobwodu ꞏ Rodbiorników = Iobwodu ꞏ Rodbiornik-1 + Iobwodu ꞏ Rodbiornik-2

Zauważ, że po obu stronach równania mamy teraz ten sam składnik, czyli Iobwodu. Jeśli podzielimy przez niego obie strony, to otrzymamy:

Rodbiorników = Rodbiornik-1 + Rodbiornik-2

I tak oto Kirchhoff rozwiązał pierwszą z dwóch zagadek: rezystancja zastępcza odbiorników połączonych szeregowo równa jest sumie ich rezystancji. Innymi słowy ten układ:

Jest równoważny (a więc wywołuje przepływ tego samego prądu) co ten układ:

Znając rezystancję zastępcza możemy teraz bez trudu obliczyć prąd jaki płynie w obwodzie (I = U/R). A kiedy już go poznamy i będziemy mieli wystarczająco dużo chęci, to możemy powrócić do układu dwóch rezystorów i na podstawie pokazanych już równań:

Uodbiornik-1 = Iobwodu ꞏ Rodbiornik-1

Uodbiornik-2 = Iobwodu ꞏ Rodbiornik-2

Obliczyć ile napięcia spadnie na każdym z nich. Oczywiście w niczym nie przeszkadza, jeśli rezystorów połączonych szeregowo jest więcej. Równanie na rezystancję zastępczą działa dla dowolnej ich liczby:

Rz = R1 + R2 + R3 + …

Każdy kto kiedykolwiek miał zajęcia z elektrotechniki wie, że rezystancje szeregowe się sumuje. Wydaje się to proste, logiczne i oczywiste – dlaczego więc poświęciłem temu tyle czasu? Wszystko dlatego, że to była ta prostsza część, za pomocą której chciałem zaznajomić Cię z ogólnym tokiem rozumowania. Dzięki temu powinniśmy być gotowi, aby zmierzyć się z drugim aktem naszego przedstawienia.

Prądowe Prawo Kirchhoffa

Oto docieramy do Pierwszego Prawa Kirchhoffa, zwanego prądowym lub węzłowym. To właśnie za jego pomocą Kirchhoff rozprawił się z wyznaczeniem rezystancji zastępczej układu rezystorów połączonych równolegle. Poniżej, dla przypomnienia, przykładowy rysunek takiego wariantu:

Poprzednio na podstawie strzępków informacji o napięciu i prądzie byliśmy w stanie dojść do ostatecznego rozwiązania. Zróbmy to zatem ponownie i zobaczmy dokąd zaprowadzi nas ta ścieżka. Co wiemy o napięciu w takim układzie? Bateria wytwarza 3 wolty, to jest pewne. Ale co dalej dzieje się z tą energią? W takim układzie jak wyżej nie możemy powiedzieć, że najpierw część zabiera jeden rezystor, a potem drugi bierze resztę. W układzie równoległym elektrony wysłane pod napięciem 3 woltów docierają jednocześnie do rezystora R1 i R2. Ile zatem „zużywa” każdy z nich? Zrozumienie tego co tu się dokładnie dzieje ułatwi nam ponownie woda. Przeanalizujmy układ fontanny:

Zadaniem pompy, tak jak w poprzednich wodnych przykładach, jest wytwarzanie ciśnienia na poziomie 3 barów – jest to odpowiednik naszego napięcia baterii. Do rury na górze podłączony jest zraszacz i jego wąski wylot pozwala przy tym ciśnieniu na przepływ 10 litrów wody na minutę – to jest nasz prąd. Oczywiście działa tutaj ta sama zasada co wcześniej – jeśli zraszacz ogranicza przepływ do 10 L/min., to dokładnie tyle wody płynie w całym obiegu. A co w sytuacji gdy do rury na górze podłączymy drugi zraszacz?

Jest to przykład układu równoległego, w którym dwa zraszacze wpięte są do punktu o takim samym ciśnieniu 3 barów. Oba korzystają zatem z tej samej siły napędowej i z obu wypływa po 10 litrów wody na minutę. Oczywiście aby zapewnić taki przepływ, pompa musi przyspieszyć i tłoczyć teraz przez rurociąg aż 20 L/min. Innymi słowy: oba zraszacze mogą korzystać z dobrodziejstwa 3 barów tylko wtedy, kiedy pompa będzie w stanie je utrzymać, a więc odpowiednio szybko uzupełniać wodę wyrzucaną przez zraszacze. Jeśli pompa nie da rady, to ciśnienie spadnie, tak jak i przepływ w obu zraszaczach.

Jak widzisz w układzie równoległym wiele zależy od wydajności źródła, ale my póki co pominiemy ten temat (powrócimy do niego w kolejnych artykułach!). Dziś interesuje nas przede wszystkim znalezienie rezystancji zastępczej takiego układu i żeby niepotrzebnie nie komplikować sprawy założymy, że nasze źródło napięcia zostało dobrane tak, by mieć odpowiedni zapas wydajności. Inaczej mówiąc przyjmujemy, że do obu rezystorów połączonych równolegle trafia to samo napięcie 3 V i że bateria jest w stanie bez trudu je utrzymać.

Jeśli dalej nie do końca jasne jest dla Ciebie w jaki sposób rezystory zużywają łącznie 6 woltów, podczas gdy bateria zapewnia tylko 3 V, to zapamiętaj jedną rzecz: napięcie nie mówi o całkowitej energii jaką daje bateria, a jedynie o tym ile energii ma każdy wyrzucony z niej elektron. Zatem dopóki bateria będzie wysyłać ich do obwodu dwa razy więcej, dopóty zaspokoi potrzebę dwóch rezystorów, z których każdy chce wykorzystać 3 V napięcia.

Po tej krótkiej dygresji możemy ostatecznie zapisać, że:

Ubaterii = Uodbiornika-1 = Uodbiornika-2

Może to nie wiele, ale pamiętaj – każdy strzępek informacji jest na wagę złota. A skoro dowiedzieliśmy się już czegoś o napięciu, to czas teraz porozmawiać o prądzie. W tej kwestii Kirchhoff również znalazł bardzo prostą własność, do zrozumienia której ponownie załóżmy czerwoną czapkę włoskiego hydraulika i zajrzyjmy w głąb rur:

Jeśli do rurociągu wpływa 10 litrów wody na minutę, to logiczne wydaje się, że tyle samo wody musi z niego wypłynąć po drugiej stronie. Związane jest to z tym, że jeśli rurociąg nie ma dziur, to woda nie ma prawa w nim ginąć – nazwijmy to zasadą zachowania wody. Nie ma przy tym znaczenia, czy po drodze dochodzi do jakiegoś rozwidlenia, ani ile wody popłynie każdą ze ścieżek. Jeśli do rozwidlenia dotarło 10 L/min., to tyle musi pojawić się po ponownym połączeniu rurociągów. Jeśli prąd jest jak woda (a w sumie trochę jest) to dla niego zależność ta również musi być prawdziwa:

Prąd który wypływa z baterii, czyli Iobwodu, na rozgałęzieniu dzieli się na I1 oraz I2. Po ponownym połączeniu ścieżek znowu łączy się, tworząc Iobwodu. Innymi słowy prąd, tak jak woda, nie ginie, dlatego możemy zapisać proste równanie:

Iobwodu = I1 + I2

I to tyle… Choć może się to wydawać enigmatyczne, to właśnie uzyskaliśmy ostatnią potrzebną informację do wyznaczenia rezystancji zastępczej tego układu. Jak to zrobimy? Zacznijmy od tego, że według Prawa Ohma wartość prądu w obwodzie zależy tylko i wyłącznie od napięcia baterii i całkowitej rezystancji wszystkich odbiorników:

Iobwodu = Ubaterii / Rodbiorników

Póki co nie możemy oczywiście rozwiązać tego równania (bo nie znamy rezystancji zastępczej odbiorników i prądu obwodu), ale nic nie stoi na przeszkodzie, byśmy zapisali też równania dla każdego odbiornika z osobna. Wiemy przecież, że dociera do nich to samo napięcie, płynie przez nie jakiś prąd i każdy ma jakąś rezystancję. Tym samym prawdą jest, że:

I1 = Ubaterii / R1

I2 = Ubaterii / R2

Koniec końców znowu lądujemy z trzema nierozwiązywalnymi równaniami i, tak jak poprzednio, znowu spróbujemy je połączyć. Wystarczy każde z nich podstawić do naszego pierwotnego równania prądowego:

Iobwodu = I1 + I2

I tym samym uzyskamy coś takiego:

Ubaterii / Rodbiorników = Ubaterii / R1 + Ubaterii / R2

Po obu stronach równania mamy dokładnie ten sam składnik: Ubaterii. Możemy zatem go skrócić (czyli podzielić przez niego obie strony równania), co w wyniku da nam:

1 / Rodbiorników = 1 / R1 + 1 / R2

Równanie to kojarzysz zapewne z podręczników do elektrotechniki albo z lekcji fizyki, a teraz wiesz również skąd ono się tak naprawdę wzięło. Oczywiście samo w sobie nie mówi nam wprost ile wynosi Rodbiorników, ale wykorzystując kilka algebraicznych sztuczek matematycznych możemy ostatecznie poznać tę wartość:

Niestety przechodzenie tych wszystkich kroków ma pewną wadę – im rezystorów jest więcej, tym każdy z kroków staje się bardziej skomplikowany. Dlatego zazwyczaj pozostaje się raczej przy postaci pierwotnej:

1 / Rodbiorników = 1 / R1 + 1 / R2

Bo łatwiej jest podstawić do niej liczby, znaleźć wspólny mianownik „na piechotę”, a na koniec po prostu odwrócić wynik.

Rezystancja zastępcza i co dalej?

Tak oto poznaliśmy absolutną esencję dwóch Praw Kirchhoffa, które pozwalają nam uprościć dowolnie złożony układ szeregowo-równoległy odbiorników do postaci prostego obwodu. To oczywiście ledwie zarysowany wierzchołek możliwości jakie dają nam te zasady, opracowane przez Gustava Kirchhoffa w wieku zaledwie 21 lat. Niedługo potem, nim na dobre zajął się spektroskopią, dowiódł też, że elektryczność porusza się w przewodach z prędkością światła, przekształcił Prawo Ohma tak, by brało pod uwagę kształt i pole przekroju przewodnika, a także napisał pracę o przepływie elektryczności przez przewody ułożone na dnie mórz i oceanów.

Ale czy istnieją sytuacje, w których Prawa Kirchhoffa nie dają prostej odpowiedzi? Oczywiście, że tak! Myślę jednak, że dzisiejszy artykuł był wystarczająco długi, dlatego nieco bardziej problematyczne sytuacje zostawimy sobie na później. Jeśli zatem nie boisz się „pobrudzić sobie rąk” matematyką, to zapraszam Cię do kolejnego artykułu z serii Obwody Prądu Stałego, w którym pokaże Ci kilka ciekawych przykładów!


Dzięki za poświęcony czas!


Bibliografia

  1. Elektrotechnika – S. Bolkowski,
  2. Podstawy Elektrotechniki i elektroniki – M. Doległo,
  3. Elektrotechnika i elektronika dla nieelektryków – P. Hemprowicz,
  4. An Introduction to Electrical Science – A. Waygood,

Podobało się? Zajrzyj na
PATRONITE
i wspieraj moją dalszą pracę!
Krótka Historia Elektryczności
A może chciałbyś przeczytać ciekawą książkę?
Pewnie!

Ten post ma 20 komentarzy

  1. Amadeusz

    Mam pytanie załóżmy że mamy dwa oporniki połączone równolegle. Jeden ma większą rezystancje a drugi mniejszą. W obwodzie mamy też gałęzie źródłowe. Prąd płynący w gałęzi źródłowej rozpływa się na jeden odbiornik i na drugi i potem znowu spływa w gałęzi drugiej źródłowej którą wraca. Wiec elektrony docierając do punktu rozgałęzienia czyli węzła zużyły na razie tyle samo energii i po drugiej stronie wracając w drugiej gałęzi źródłowej tyle samo zużywają na powrót . Oznacza to że niezależnie od tego czy elektrony popłyną w jednym czy w drugim oporniku zostaje im tyle samo energii. Na oporniku przez który prąd płynie wolniej odkłada się tyle samo energii co na tym przez który prąd płynie szybciej. Prędkości elektronów na poszczególnych opornikach są różne ale energii dostarczają one tyle samo. W artykule o spadku napięcia czytamy ze im szybciej płynnie elektron tym więcej energii dostarcza przy zderzeniu z atomami opornika. W tym przypadku na różnych opornikach odkłada się tyle samo napięcia. Przez opornik o większej rezystancji prąd płynie wolniej czyli siła zderzeń jest mniejsza ale jest ich więcej. Przez opornik o mniejszej rezystancji prąd płynie szybciej siła zderzeń jest większa ale jest ich mniej. W efekcie mimo iż rezystory maja różne rezystancje ilość odkładanej energii jest taka sama. Rozumiem przykład ze zraszaczami ale próbuje odnieś się do sytuacji w której na różnych opornikach przy rożnej prędkości elektronów wydziela się ta sama ilość energii Czy można to tak tłumaczyć?

    1. Artur Szulc

      Nie jestem pewien czy dobrze napisałeś. Pisząc „w efekcie mimo iż rezystory mają różne rezystancje, ilość odkładanej energii jest taka sama” masz na myśli ILOŚĆ ENERGII NA JEDEN ELEKTRON? Bo jeśli tak, to się zgadzam. Jeśli masz na myśli ogólnie ilość wydzielanej energii/mocy to nie, moc jest różna, jeśli rezystory są różne.
      Jeśli rezystor ma mniejszą rezystancję, to elektrony płyną w nim szybciej, albo płynie ich więcej – wybierz jedno wyjaśnienie, które ci odpowiada. Najpoprawniej będzie powiedzieć: średnia prędkość przypadająca na jeden elektron będzie większa w małym rezystorze, niż w dużym. A to oznacza inną ilość wydzielanej całkowitej energii, ale taką samą ilość energii przypadającą na elektron (3 wolty).

      1. Amadeusz

        Chodzi mi o ilość energii przypadającą na jeden elektron.” Jeśli rezystor ma mniejszą rezystancję, to elektrony płyną w nim szybciej, albo płynie ich więcej”.Rozumiem wersje że jeśli rezystor ma mniejszą rezystancję to elektrony płyną szybciej wtedy zderzenia są mocniejsze ale jest ich mniej ale ilość dostarczanej energii na każdy elektron jest taka sama jak na rezystorze większym na nim zaś elektrony płyną wolniej ale zderzeń jest więcej i znowu energia dostarczana przez każdy elektron porównując oba rezystory jest taka sama. Ciekawi mnie wersja w której elektronów płynie więcej bo jeśli płyną tą samą prędkością ale płynie ich więcej można to porównać do drogi. Jesli mamy więcej pasów to auta mogą jechać tą samą prędkością ale ogólnie przez drogę przejedzie ich więcej w jednostce czasu.I tu moje pytanie jeśli elektronów plynie więcej ale wszystkie mają tę samą predkosc a na jednym rezystorze zderzeń jest więcej na drugim mniej ale siła zderzeń jest ta sama jak w takim razie elektron w jednym i drugim rezystorze może wytracic tyle samo energii.Jesli prędkość jest ta sama to na mniejszym rezystorze elektron wytrąci mniej energii. Koncepcja pasuje do energii całkowitej przypadającej na rezystor ale nie gra mi z energia na jeden elektron.

        1. Artur Szulc

          Rozpracujmy to po kolei: dlaczego twoim zdaniem jak elektrony płyną szybciej to zderzeń jest mniej, a jak wolniej to więcej? To nie ma fizycznego uzasadnienia.

          1. Amadeusz

            Więcej zderzeń jest jak rezystor ma większą rezystancję.
            Jak ma mniejszą to jest mniej. Im szybciej pędzi elektron tym mocniej uderza. Na rezystorze mniejszym pędzi szybciej a na większym wolniej.
            Chyba że się mylę. Jeśli założymy że prędkość elektronów jest taka sama na obu rezystorach a natężenie jest większe na mniejszym bo elektrony nie płyną szybciej tylko płynie ich więcej .Jak w takim razie przy tej samej prędkości na obu różnych rezystorach ilość energii dostarczanej przez jeden elektron jest taka sama.

          2. Artur Szulc

            Jeśli oba rezystory połączone są równolegle, to na obu następuje ten sam spadek napięcia. Spadek napięcia mówi o tym ile energii każdy elektron zostawia w oporniku. Skoro spadek napięcia jest taki sam w obu rezystorach, to elektrony płynące w nich zostawiają tyle samo energii. Nie brzmi to logicznie?

          3. Amadeusz

            Bo z kolei wersja pierwsza czyli elektrony płyną szybciej jak jest większe natężenie pasuje mi.
            Bo wtedy na mniejszym rezystorze płyną szybciej zderzają się mniej ale zderzenia są silniejsze a na większym płyną wolniej zderzenia są słabsze ale zderzają się więcej w efekcie ilość energii dostarczanej przez każdy elektron na obu rezystorach może być na logikę taka sama. Caly czas oczywiście mówimy o energii na jeden elektron nie o całkowitej to że moce są różne to wiem.Chodzi mi o zrozumienie jak na dwóch różnych rezystorach elektron potrafi oddać tyle samo energii skoro ich rezystancję są różne. Przykład ze zraszaczem jest ok ale wolę wytlumaczenie w analogi elektronów

          4. Amadeusz

            Jeśli oba rezystory połączone są równolegle, to na obu następuje ten sam spadek napięcia. Spadek napięcia mówi o tym ile energii każdy elektron zostawia w oporniku. Skoro spadek napięcia jest taki sam w obu rezystorach, to elektrony płynące w nich zostawiają tyle samo energii. Nie brzmi to logicznie?Brzmi ale chodzi mi o zrozumienie dlaczego właśnie tak się dzieje wiem że tak się dzieje ale zastanawia mnie mechanika tego zjawiska

          5. Amadeusz

            Brzmi logicznie ale chodzi mi o zrozumienie dlaczego właśnie tak jest. Że jest takie samo napięcie w odniesieniu do materiału o żarniku żarówki i spadku napięcia. Czyli ruchu elektronów

          6. Artur Szulc

            Dlaczego elektrony w obu rezystorach oddają tyle samo energii? Bo mogą. To znaczy elektrony zawsze oddadzą do obciążenia całą energię jaką mają. Tak to już jest, potencjał musi zostać zniwelowany, stąd elektrony pędzą tak szybko jak mogą. A maksymalną prędkość osiągną tylko poprzez oddanie całej energii.
            Dlatego zarówno w małym rezystorze, jak i w dużym tuż obok, elektrony oddadzą całą swoją energie. Skoro mają jej tyle samo na starcie, to siłą rzeczy oddadzą jej tyle samo = taki sam będzie spadek napięcia na obu rezystorach.

  2. Maciej

    Źle się wygenerowały znaki większości i mniejszości, napiszę końcówkę jeszcze raz.
    A2 będzie mniejsze od A1 ale prędkość V2 będzie większa od V1.

  3. Maciej

    Witam
    Chciałbym się dopytać o analogię wodną, skoro mamy rurociąg o przepływie 100 l/min i dodając zwężenie ten przepływ nas spada chociaż według tego co czytam i sam kombinuje to rurociąg w miejscu przed zwężeniem będzie miał przekrój A1 i prędkość V1 (Q=A*V) a punkt A2 ( zwężenie) będzie A2 V1(paradoks Bernoullego) to przepływ nie powinien się zmienić.

    Równanie ciągłości strugi Q=V/t=A1V1=A2V2=A3V3=const

    1. Artur Szulc

      Na początek wyjaśnię, że masz rację i paradoks hydrodynamiczny faktycznie mówi, że woda, jako swego rodzaju „układ naczyń połączonych” radzi sobie ze zwężką płynąc w niej szybciej. Tym samym, w całym rurociągu zachowany zostaje stały przepływ. Ale czy nie do tego właśnie zmierzała cała moja analogia? Przepływ w zwężce jest dokładnie taki sam jak w pozostałej części rurociągu. Analogicznie w przypadku prądu, jego natężenie jest takie samo w całym obwodzie.

      Twoje pytanie dotyczy pewnie tego dlaczego zwężka w ogóle obniża ilość płynącej wody w całym rurociągu. Skoro płynęło 100 L/min., to dlaczego dodanie zwężki nagle sprawia, że płynie jej mniej? Czy woda nie powinna po prostu zwiększyć swojej prędkości w zwężce i utrzymać przepływ 100 L/min? Wydaje mi się, że nie. Dobrym przykładem jest tutaj wąż ogrodniczy. Podpinasz 3-metrowy wąż do kranu i odkręcasz wodę na maksa. Wąż w porównaniu z rurami przesyłowymi działa jak zwężka, dlatego wypływa z niego bardzo szybki strumień wody. Skoro tak, to dlaczego by nie zastosować… 30-metrowego węża? Wtedy woda powinna płynąć w nim 10 razy szybciej, a strumień wylotowy sięgać znacznie dalej! Z tym, że w rzeczywistości nic takiego się nie dzieje. Przy 30-metrowym wężu strumień wody będzie znacznie słabszy. Nie znaczy to, że paradoks Bernoulliego przestaje działać – woda w wężu będzie płynęła znacznie szybciej, niż w rurze zasilającej, ale straty energii (i co za tym idzie ciśnienia) będą tak duże, że z węża woda będzie wylewać się niemrawo. Innymi słowy Prawo Bernoulliego w ogóle nie porusza kwestii strat ciśnienia w rurociągu – nie ma tarcia i zakładamy, że rurociągi są idealnie gładkie, a przepływ wody jest laminarny. W rzeczywistości każda zwężka jest pewnego rodzaju przeszkodą. Woda musi się fizycznie przez nią przeciskać na całej jej długości, Płyn ma większą prędkość, a to oznacza, że i tarcie zbiera większe żniwo. W przyrodzie nie ma nic za darmo.

      I oczywiście ktoś może powiedzieć, że przykład z wężem jest nietrafiony, bo nie jest to obieg zamknięty, ale pamiętajmy, że mówimy jedynie o ANALOGII WODNEJ, a więc tworze, który ma sprawić, że prąd elektryczny zacznie przypominać coś co znamy. Nie jestem ekspertem od przepływów i być może kompletnie źle rozumiem Prawo Bernoulliego, ale wszystkie książki jakie posiadam, poruszające analogię wodną, robią to mniej więcej w ten sposób co ja.

      Pozdrawiam!

  4. Krystian

    Ja mam nietypowe pytanie?pewnie wyda się głupie,ale co mi tam.Jak się nie wie to trzeba pytać.
    Chodzi mi o jedynkę w liczniku,co ona właściwie oznacza?nigdzie w żadnej książce od podstaw elektrotechniki nie jest to wyjaśniane,domyślam się że pewnie jest to zbyt oczywiste.Jednak jak się okazuję nie dla wszystkich,A mama mi mówiła aby nie rzucać a szkołę kamieniami nie posłuchałem ….

    1. Artur Szulc

      Nie ma głupich pytań, ale niestety zawsze można głupio odpowiedzieć… Co tam, spróbuję 😉
      Ta jedynka w liczniku nie ma żadnego znaczenia fizycznego. Po prostu wynika ona z pewnych operacji matematycznych, które przeprowadziłem w artykule. Czasami fizycy odkryją coś, co matematycy potem starają się opisać. Innym razem matematyka podaje jakąś prawidłowość i fizycy szukają gdzie można by ją wykorzystać. W tym wypadku na podstawie obserwacji Kirchhoff wydedukował takie równania jakie wydedukował i najważniejsze w nich jest to, że działają. W podręcznikach do elektrotechniki próbuje się niestety nadać temu równaniu sens, pisząc, że 1/R to jest przewodność. Ale jakoś nikt nie zastanawia się nad tym, że nie ma absolutnie sensu mówienie o przewodności, kiedy liczymy oporność. Dlatego nie ma się co nad tym głowić – jeśli jedynka musi tam być, aby prawo było prawem, to niech ona tam będzie i nie dopisujmy jej wytłumaczenia fizycznego, bo takowego nie ma. Analogicznie mało kto zastanawia się dzisiaj dlaczego 2+2=4 albo 1 jest większe od 0. Dla nas to oczywiste, ale wielu matematyków spędziło lata życia nad tym, by takie oczywistości udowodnić, bez ich fizycznego znaczenia. Pozdrawiam!

  5. Bibi

    Szczerze zawsze z pobłażaniem patrzyłam na chociażby I prawo Kirchhoffa.
    Jakby… Gdzie ten prąd miałby się podziać? „Nic w przyrodzie nie ginie”, chciałoby się rzec 😛
    Jednak, zagłębiając się w ten artykuł, trochę inaczej spojrzałam na oba prawa.
    Bardzo dziękuję za artykuł i czekam na kolejne!

  6. adam

    Bardzo dobrze , super , maturzyści powinni to przeczytać

    1. Artur Szulc

      Dziękuję za pozytywną opinię – staram się pisać w sposób jak najbardziej zrozumiały. Tym bardziej cieszy mnie, że komuś się artykuł spodobał 🙂

    2. Kuba

      Panie Arturze,
      czy w grafice przedstawiającej wzory na rezystancję zastępczą oporników połączonych równolegle nie wkradł się przypadkiem błąd? Wydaje mi się, że licznik i mianownik powinny być odwrócone tj. Rz = R1*R2 / R1+R2
      Pozdrawiam serdecznie
      Kuba

      1. Artur Szulc

        Witam,

        Tak, to był błąd. Już został poprawiony. Dzięki za zwrócenie uwagi!

Dodaj komentarz