Wielkości wektorowe i skalarne

Co to jest wektor? Czym wektor różni się od skalara? Jakie są sposoby mnożenia wektorów? Czym jest wektor jednostkowy? Przedstawiam jak intuicyjnie rozumieć wektory i skalary w fizyce.

Wektor i skalar – prosta definicja fizyczna

Wielkość skalarna to inaczej wielkość liczbowa. Skalarem jest więc każda wielkość fizyczna, którą opisujemy przy pomocy konkretnej liczby (rzeczywistej, zespolonej… tak naprawdę dowolnej liczby). Wielkości skalarne zapisujemy za pomocą liter pisanych kursywą (np. masa: m, temperatura: T, ładunek elektryczny: q) Oczywiście jeśli wielkość taka ma zgodnie z Układem SI przypisaną określoną jednostkę, to o niej również musimy pamiętać. Na przykład masę podajemy zawsze w kilogramach (m = 10 kg), a temperaturę w Kelwinach (T = 293 K)).

Czym jest układ SI? – kliknij, by przejść do artykułu!

Dla drugiej grupy, czyli wielkości wektorowych taki opis nie będzie wystarczający. Wektory to wielkości w pewien sposób ukierunkowane – do ich opisu nie wystarczy pojedyncza liczba. W danym kierunku zjawisko może być silne i przyjmować duże wartości, w innym natomiast może całkowicie zanikać.

Wielkości wektorowe nie są więc tak intuicyjne i bardzo często do prawidłowej ich interpretacji niezbędny jest rysunek poglądowy (co staram się realizować w artykułach na tej stronie). Wielkości, które są z natury wektorowe oznaczamy strzałką, bądź zapisujemy je prostą, pogrubioną czcionką (np. siła: $\vec{F}$ lub F, przyspieszenie: $\vec{a}$ lub a, natężenie pola elektrycznego: $\vec{E}$ lub E). Wektory, tak jak i skalary również mają swoje jednostki, o których należy pamiętać.

Wektor czy skalar?

W jaki sposób określić, które wielkości są skalarne, a które wektorowe? Zobaczmy czy sam opis wielkości jest w stanie pomóc nam w odgadnięciu jej natury:

Temperatura otoczenia wynosi 36 stopni Celsjusza

Temperatura to wielkość wyrażana w wielu jednostkach (na co dzień stosujemy stopnie Celsjusza). Bez względu na jednostkę, do pełnego opisu temperatury panującej w danej chwili wystarczy nam zwykła, pojedyncza liczba: ,,Jest 15 stopni Celsjusza”; ,,Woda zamarza poniżej 0 stopni Celsjusza”. Liczba plus jednostka daje nam kompletny opis temperatury, stąd jest to w sposób oczywisty wielkość skalarna.

Ważę 80 kg

Opowiadając o swojej wadze nie mam na myśli tego jak mocno Ziemia przyciąga mnie do siebie. Mówię jedynie o wskazaniu cyfrowym wagi, na której przed chwilą stanąłem. Ponownie mamy do czynienia z pewną skalarną wielkością i nie ma co doszukiwać się drugiego dna. Bez względu na to czy stoję na wadzę, czy się na niej położę, za każdym razem wskazana wartość równa będzie 80 kg.

Wyrzuciłem piłkę 5 m w górę

W tym wypadku oprócz odległości na jaką rzuciłem piłkę (wyrażonej wartością skalarną równą 5 m) mamy jeszcze informację o kierunku, w którym ta akcja miała miejsce. Rzuciłem piłkę pionowo w górę, a więc prawdopodobnie upadnie ona w tym samym miejscu (jeśli się nie odsunę, to prosto na moją głowę). Co by się stało gdybym zmienił kierunek i rzucił piłkę przed siebie? Nie poleciałaby tak wysoko? Upadła by gdzieś indziej? Wiele czynników uległoby zmianie, a to z powodu zmiany kierunku zjawiska. Przebyta droga jest zatem z pewnością przykładem wielkości wektorowej, dla której kierunek ma istotny wpływ na efekt końcowy.

Próbowałem pchnąć tę skrzynie. Nie udało się, była zbyt ciężka.

Powyższe działanie opiszemy wektorem czy skalarem? Właściwie to doszło jedynie do próby działania, bo skrzyni nie udało się przesunąć. Czy takie działanie wciąż można jakoś opisać? Oczywiście, że tak, a wielkość ta nazywa się siłą. Najpopularniejszym rodzajem siły jest ten opisany przez Newtona – jeśli mamy do czynienia z przedmiotem o pewnej masie i próbujemy zmienić jego położenie, wówczas musimy przyłożyć do niego siłę. Przedmioty możemy ciągnąć, pchać, podnosić i opuszczać. Kierunek siły ma więc diametralne znaczenie dla uzyskanego efektu. Jeśli przedmiot jest wystarczająco lekki i nic innego nie wchodzi nam w drogę, wówczas uda się zmienić jego położenie – przyłożenie siły da konkretny efekt w postaci przesunięcia. W opisywanym przykładzie skrzyni nie udało się przesunąć, więc widocznego efektu brak. Nie dlatego, że siły nie było, a dlatego, że nie przezwyciężyliśmy innych sił utrzymujących skrzynię w miejscu. Poza tym kto wie, może próba przesunięcia w innym kierunku zakończyłaby się sukcesem? Jak widać na podstawie samych rozważań siła jest z pewnością wielkością wektorową, z którą zresztą spędzimy sporo czasu w kolejnych artykułach z dziedziny elektryki.

Czym jest długość i kierunek wektora?

Temat wielkości skalarnych praktycznie wyczerpaliśmy. Dlatego czas przyjrzeć się nieco dokładniej wektorom. Jak one tak właściwie wyglądają?

Każdy wektor możemy opisać za pomocą liczb i symboli albo po prostu narysować go w układzie współrzędnych. Wektor bowiem to nic innego jak zwykła strzałka. Ułożenie tej strzałki wskazuje kierunek działania zjawiska, zaś jej długość to wartość zjawiska. Innymi słowy im dłuższy wektor siły, tym siła większa. Im dłuższy wektor przyspieszenia, tym przyspieszenie większe. Proste, prawda?

Skoro wiesz już jak opisać ,,moc” danego zjawiska, to czas zastanowić się jak opisuje się kierunek działania takiego wektora. Możemy mówić o ,,rzucie piłką w górę” albo ,,pchaniu skrzyni przed siebie”, ale taki opis pozostawia spore pole do interpretacji. Wystarczy delikatnie się obrócić, a kierunek ,,przed siebie” ulegnie całkowitej zmianie. Jak zatem poprawnie zapisać kierunek wektora?

Sposób 1 – Współrzędne wektora

Wyobraź sobie, że piastujesz stanowisko magazyniera, a jeden z kolegów właśnie podwiózł ci skrzynię, którą ty musisz umieścić na właściwej półce. Na jakiej? Kolega nie ma bladego pojęcia i natychmiast odjeżdża, by uniknąć odpowiedzialności. Jedyną osobą, która coś na ten temat wie jest kierownik. W swoim zeszycie sporządził on taki oto rysunek:

Kierownik to niezwykle mądry człowiek – wszystko rysuje, by niczego nie zostawić przypadkowi

Właściwą półkę oznaczył zielonym kółkiem, a kierunek w jakim ma podążyć skrzynia pomarańczową strzałką. Tylko co z tego, skoro w tej chwili kierownik jest na urlopie, a zeszyt zamknięty jest w jego biurku? Nie będziesz przecież do niego dzwonił – urlop to rzecz święta. Zamiast tego drżącymi dłońmi piszesz do niego sms’a z pytaniem i liczysz na miłą i przyjacielską pomoc… Wtem przychodzi sms zwrotny:

Druga od lewej, trzecia od dołu.

Spoglądasz na półki i oczami wyobraźni rysujesz odpowiednie wartości wektorów podane przez kierownika. Tym sposobem strzałkami wyobraźni docierasz do zielonego punktu, tego samego, który on oznaczył pomarańczowym wektorem P:

Jak widać znajomość wektorów przydaje się w magazynie

Matematycznie wektor taki zapisalibyśmy jako P = (2,3), gdzie pierwsza liczba oznacza przesunięcie w osi poziomej, druga w osi pionowej. Ten sposób przedstawienia wektora doskonale sprawdza się do opisu dowolnego przesunięcia, czy przebytej drogi.

Sposób 2 – Długość wektora i kąt nachylenia

Drugi sposób zapisu wektorów sprawdza się doskonale w zagadnieniach trafiania do celu. Wyobraź sobie, że jakiś czas temu w piwnicy znalazłeś armatę, kilka kul i zapas prochu. Do tego zestawu przygotowałeś tarczę, którą umocowałeś na wysokim słupie. Pytanie brzmi, jak do takiego celu trafić?

Strzelanie z armaty do celu to nie jest łatwy sport…

Wiesz, że słup oddalony jest od armaty o 8 metrów, a tarczę powiesiłeś na wysokości 6 metrów. Wektor wynosi zatem P = (8,6), ale w tym wypadku to za mało. To co każdemu ,,armaciarzowi” by się w takiej sytuacji przydało to przede wszystkim kąt pod jakim należy ustawić lufę oraz odległość od celu w linii prostej (żeby móc oszacować potrzebną siłę wystrzału i wsypać odpowiednio dużo prochu). Graficznie zaznaczylibyśmy to w ten sposób:

…chyba, że znasz się na wektorach. Wtedy to inna bajka

Wektor P możemy zatem z powodzeniem opisać przy pomocy jego długości oraz kąta nachylenia do osi poziomej: P = (r,θ), gdzie r wyrażamy w metrach, a kąt θ (gr. theta) w radianach.

Sposób 3 – Długość wektora i wektor jednostkowy

Trzeci sposób może nie przyda nam się w pracy na magazynie, ani przy strzelaniu do celu, ale za to doskonale sprawdza się w… zadaniach z fizyki. Idea tego sposobu polega na wydzieleniu zmiennej odpowiedzialnej tylko za kierunek oraz drugiej wyrażającej jedynie wartość wektora. Szukany wektor uzyskuje się wówczas poprzez pomnożenie obu wielkości np. P = r· $\hat{u}$ . Wielkość r to ta część odpowiedzialna za wartość wektora (np. wartość siły, przebyta odległość). Widoczny dalej symbol z daszkiem $\hat{u}$ to tak zwany wektor jednostkowy. Jego długość wynosi 1 i określa on tylko i wyłącznie kierunek działania zjawiska. Po co stosować takie podejście? W wielu dziedzinach techniki (na przykład robotyce) bywa tak, że potrzebujemy zmienić jedynie wartość danej wielkości, innym razem sam jej kierunek. Przypisanie obu tym wielkościom osobnych zmiennych pozwala nam takie rzeczy robić i znacząco ułatwia związane z tym obliczenia.

Ważną cechą wszystkich trzech wymienionych sposobów zapisu jest fakt, że dzięki prostym przekształceniom matematycznym możemy bez trudu przechodzić z jednego na inny. Znając współrzędne wektora (sposób pierwszy) możemy obliczyć jego długość oraz kąt do osi (sposób drugi), a nawet wyznaczyć wektor jednostkowy kierunku (sposób 3). Podsumujmy zatem wszystkie sposoby zapisu wspólną grafiką:

sposob-zapisu-wektorow — Trzy najpopularniejsze sposoby przedstawienia wielkości wektorowej

Powyższe przykłady przedstawiają wektory dwuwymiarowe (rysowane na płaszczyźnie). Dla wektorów trójwymiarowych sprawa komplikuje się o tyle, że każdy z nich opisany jest trzema współrzędnymi (x,y,z), długością i dwoma kątami (r,θ₁,θ₂) lub iloczynem długości i wektora jednostkowego (również trójwymiarowego) (r·[u_x,u_y,u_z]).

Mnożenie wektorów

W trakcie swojej edukacji natrafisz na wiele zadań matematycznych i fizycznych związanych z wektorami. Te można dodawać i odejmować (poprzez dodawanie i odejmowanie ich współrzędnych), ale to dość proste zagadnienie, które na pewno bez trudu opanujesz. Zupełnie inną kwestią, która nie wiedzieć czemu sprawia wszystkim wiele trudności. jest mnożenie wektorów Jak łatwo opanować to zagadnienie? Omówimy je na trzech ,,życiowych” przykładach.

1. Mnożenie wektora i wartości skalarnej (skalowanie wektora)

W rezultacie takiego działania uzyskujemy wektor o takim samym kierunku, ale o innej długości. Wyjaśnię to na prostym przykładzie wykorzystującym drugą zasadę dynamiki Newtona. Wektor siły to iloczyn masy (skalara) i przyspieszenia (wektora):

F = m·a

Załóżmy, że chcemy nadać obiektowi o masie 2 kg przyspieszenie o kierunku danym przez współrzędne a = (5,1) m/s². Jak dużej siły musimy użyć?

(1) $\begin{equation*}\vec{F} = m\vec{a} = 2\ \text{kg}\cdot [5{,}1]\ \text{m}/\text{s}^2 = [10{,}2]\ \text{N}\end{equation*}$

Obie współrzędne wzrosły dwukrotnie. Jeśli ciało ważyłoby 10 kg, wówczas zwiększyłyby się one 10-krotnie. Skalowanie wektora to nic innego jak ,,wydłużanie” jego współrzędnych, przy zachowaniu ich proporcji, dzięki czemu kierunek pozostaje bez zmian.

2. Mnożenie skalarne dwóch wektorów

W rezultacie takiego działania uzyskujemy skalar. Nie możemy jednak od tak przemnożyć współrzędnych obu wektorów, gdyż wynik zależy też od tego, jak bardzo podobne do siebie są ich kierunki. Oto przykład wykorzystujący związek między siłą, a wykonaną pracą:

iloczyn-skalarny-wektorow-rownolegle — Przykład pierwszy – wektory siły i przemieszczenia są równoległe

Na ziemi leży skrzynia o masie m = 20 kg, którą chcemy przesunąć na odległość d = 10 m. Przywiązujemy więc do skrzyni linę i ciągniemy z siłą o wartości F = 100 N. Udało się! Skrzynia ruszyła! Jeśli tak, to znaczy, że musieliśmy wykonać pracę określoną równaniem:

(2) $\begin{equation*}W = \vec{F}\cdot \vec{d}\end{equation*}$

Chwileczkę! Wiemy, że wartość siły F wynosi 100 N, a odległość to 10 m, ale nie podałem żadnych informacji o kierunkach obu wielkości. Czy jest mimo to sposób, żeby jakoś ten problem rozwiązać? Owszem i nie potrzeba do tego żadnych sztuczek. Wystarczy zastosować się do zasady mnożenia skalarnego, według której:

(3) $\begin{equation*}\vec{F}\cdot \vec{d} = \big\Vert \vec{F}\big\Vert\cdot \big\Vert \vec{d}\big\Vert\cdot \cos(\theta)\end{equation*}$

Poprzez symbole $\big\Vert F\big\Vert, \big\Vert d\big\Vert$ oznacza się długości wektorów $\vec{F}$ i $\vec{d}$ . Z kolei $\theta$ to nic innego jak kąt między dwoma wektorami.

Okazuje się, że do przemnożenia skalarnego dwóch wektorów wystarczy znajomość ich wartości oraz kąta między nimi. Żadnych współrzędnych, żadnych strzałek, czysta algebra!

W powyższym przykładzie kierunek wektora, w którym skrzynia się przesuwa i kierunek wektora siły z jaką ciągniemy skrzynię jest dokładnie taki sam, a więc kąt między nimi wynosi $\theta = 0\degree$ . W takim wypadku praca wykonana przez nas w powyższym przykładzie wynosi:

(4) $\begin{equation*}W = \big\Vert \vec{F}\big\Vert\cdot \big\Vert \vec{d}\big\Vert\cdot cos(\theta) = 100\ \text{N}\cdot 10\ \text{m}\cdot \cos(0^\circ) = 100\ \text{N}\cdot 10\ \text{m}\cdot 1 = 1000\ \text{J}$\end{equation*}$

Ciągnąć skrzynię w kierunku ruchu wykonaliśmy 1000 J pracy. Bardzo często jednak kierunek siły nie jest zgodny z kierunkiem ruchu. Jeśli skrzynia jest niska, a osoba ciągnąca wysoka, to sytuacja wyglądałaby mniej więcej jak na obrazku poniżej:

Przykład drugi – wektory siły i przemieszczenia nie są równoległe

Czy sytuacja, w której ciągniemy skrzynię pod kątem $\theta = 60^\circ$ znacząco się zmieni? Rozwiążmy ponownie równanie na pracę:

(5) $\begin{equation*}W =\big\Vert \vec{F}\big\Vert\cdot \big\Vert \vec{d}\big\Vert\cdot cos(\theta) = 100\ \text{N}\cdot 10\ \text{m}\cdot \cos(60^\circ) = 100\ \text{N}\cdot 10\ \text{m}\cdot 0{,}5 = 500\ \text{J}$\end{equation*}$

Wygląda na to, że użyliśmy tej samej siły, przesunęliśmy skrzynię na tę samą odległość, a napracowaliśmy się przy tym dwa razy mniej. Czy zatem pracując w magazynie przy rozładunku skrzyń i mając do dyspozycji jedynie linę, opłaca się być wyższym?

Praca wykonaną na danym obiekcie równa jest ilości energii jaką do obiektu dostarczyliśmy. Skrzynia z pewnością zyskała energię kinetyczną, gdyż pod wpływem siły udało się ją przesunąć i nabrała przy tym pewnej prędkości. No właśnie, sprawdźmy jaką prędkość w obu przypadkach uzyskała skrzynia po 10 metrach ciągnięcia ze stałą siłą. Przypomnę, że prędkość początkowa skrzyni równa była zero, a masa skrzyni wynosi 20 kg. Wartość energii kinetycznej skrzyni wynosi zatem:

(6) $\begin{equation*}E_k = \frac{1}{2}\ mv^2\end{equation*}$

Po przekształceniu obliczmy wartość prędkości dla dwóch przypadków: gdy dostarczona energia wyniosła $E_{k1} = 1000\ \text{J}$ oraz $E_{k2} = 500\ \text{J}$ :

(7) $\begin{align*}v_1 =\sqrt{2\cdot\frac{E_{k1}}{m}} = \sqrt{2\cdot\frac{1000\ \text{J}}{20\ \text{kg}}} = \sqrt{100\ \frac{\text{J}}{\text{kg}}} = 10\ \frac{\text{m}}{\text{s}} \\v_2 =\sqrt{2\cdot\frac{E_{k2}}{m}} = \sqrt{2\cdot\frac{500\ \text{J}}{20\ \text{kg}}} = \sqrt{50\ \frac{\text{J}}{\text{kg}}} \approx 7\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\end{align*}$

Jak widać mniejsza praca spowodowała, że ciągnąc skrzynię teoretycznie z tą samą siłą, robiliśmy to znacznie wolniej, a przez to dłużej. Dlaczego?

Ciągnięcie skrzyni zgodnie z kierunkiem ruchu sprawia, że nad przesunięciem pracujemy całą siłą. Jeśli zwiększymy kąt, to jest to równoważne z ciągnięciem skrzyni ,,trochę w kierunku ruchu i trochę do góry”. W takim wypadku tylko część siły pracuje z nami nad przesunięciem:

Wartości wektorowe i skalarne — Składowe wektora siły równej 100 N, przyłożonej pod kątem 60 stopni

Druga składowa siły, ta skierowana w górę, jest zmarnowana. Pracuje ona nad uniesieniem skrzyni w górę, ale jako, że jest znacznie mniejsza od siły grawitacji, to skrzynia nie odrywa się od ziemi. Przesunięcie w pionie równe jest zero, a więc i praca w tym kierunku równa jest zero.

Reasumując – pracując przy rozładunku małych skrzynek za pomocą liny, wysoka osoba tę samą liczbę skrzynek rozładuję w dłuższym czasie, marnując przy tym część cennej siły.

3. Mnożenie wektorowe dwóch wektorów

Wynikiem mnożenia wektorowego wektorów jest wektor. Mnożenie takie wykorzystywane jest w fizyce przede wszystkim w zagadnieniach ruchu obrotowego (od zwykłego otwierania drzwi po różne dziedziny robotyki) i niestety nie zawsze jest w tych przypadkach zgodne z naszą intuicją. Znacznie lepszym zobrazowaniem zastosowania mnożenia wektorowego będzie ruch ładunku w polu magnetycznym:

ladunek-w-polu-magnetycznym — Przykład ładunku wystrzelonego w kierunku pola magnetycznego

Rozważmy sytuację, w której naładowaną cząsteczkę (na przykład proton o ładunku dodatnim) wystrzeliwujemy wprost między dwa magnesy. Pomiędzy biegunami występuje jednorodne pole magnetyczne $\vec{B}$ i wektory tego pola skierowane są od bieguna północnego (N) do południowego (S). Cząstka, którą wystrzeliwujemy przecina to pole z pewną prędkością $\vec{v}$ . Holenderski fizyk Hendrik Lorentz zauważył, że w momencie przecięcia ładunku z polem magnetycznym, ładunek ten zmienia trajektorię ruchu. Wywnioskował, że musi to być spowodowane pojawieniem się siły (nazwanej później Siłą Lorentza), którą opisał równaniem:

(8) $\begin{equation*}\vec{F} = q \left(\vec{v}\times \vec{B}\right)\end{equation*}$

Szukana siła jest więc iloczynem wektorowym wektorów prędkości i pola magnetycznego (których kierunki są nam znane) oraz wartości ładunku. Jak więc określić w którym kierunku działa siła i jak zmieni się tor ruchu cząsteczki? W tym celu należy rozwiązać iloczyn wektorowy zgodnie z poniższym wzorem:

(9) $\begin{equation*}\vec{v}\times \vec{B} = \big\Vert \vec{v}\big\Vert\cdot \big\Vert \vec{B}\big\Vert\cdot \sin(\theta)\cdot \hat{n}\end{equation*}$

Do obliczenia iloczynu wektorowego z podanego przykładu wystarczy zatem znajomość wartości prędkości $\big\Vert \vec{v}\big\Vert$ , wartości pola magnetycznego $\big\Vert \vec{B}\big\Vert$ oraz kąta $\theta$ między nimi. W przeciwieństwie do iloczynu skalarnego, tutaj wykorzystujemy funkcję sinusa – innymi słowy im bardziej kierunki wektorów są rozbieżne, tym wynik mnożenia będzie większy. Iloczyn ten osiąga maksymalną wartość, gdy kąt między wektorami wynosi 90 stopni, wówczas $\sin{90^\circ} = 1}$ .

Na końcu równania znajduje się wektor jednostkowy $\hat{n}$ . Według definicji wartość tego wektora równa jest jeden, a kierunek jest zawsze prostopadły do obu mnożonych wektorów.

wektor-normalny — Wektor prostopadły do wektorów „v” oraz „b” nazywa się wektorem normalnym „n”

Pierwsza część równania $\big\Vert \vec{v}\big\Vert\cdot \big\Vert \vec{B}\big\Vert\cdot \sin(\theta)$ wyznacza długość wektora siły $\vec{F}$ , a ostatni jego składnik $\hat{n}$ wyznacza kierunek. Oczywiście na koniec należy pamiętać, że po obliczeniu iloczynu wektorowego, wynik należy jeszcze pomnożyć przez występująca w równaniu wartość ładunku (w zależności od rodzaju ładunku zwrot siły może ulec zmianie). Na ostateczny kierunek siły wpływa zatem sporo czynników. Do jego szybkiego określenia pomocne są tzw. zasada prawej ręki i zasada korkociągu, które omówię dokładniej, jeśli pojawi się w kolejnych artykułach stosowna okazja. W naszym przykładzie wektor siły oraz zmiana trajektorii wyglądać będą następująco:

Siła Lorentza — Wektor siły powoduje zakrzywienie toru ruchu cząsteczki w polu magnetycznym

Jeśli myślisz, że powyższy przykład to jakaś totalna abstrakcja zamknięta w odległych, fizycznych laboratoriach, to musisz wiedzieć, że zjawisko to opisuje zasadę działania telewizorów kineskopowych. Wykorzystane w nich tzw. działo elektronowe, wystrzeliwuje elektrony wprost na ekran. Aby sterować ruchem elektronów, wykorzystuje się dwa elektromagnesy, wytwarzające pole magnetyczne $\vec{B}$ . Zmieniając natężenie prądu płynącego w takim elektromagnesie, zmienia się wartość siły i w ten sposób steruje torem lotu cząstki. Trajektoria elektronów zakrzywiana jest w ten sposób, by „rysowały” one kolejne linie widocznego obrazu, od góry do dołu. Ilość linii zależna jest od wielkości ekranu, ale bez względu na to cały obraz musi być rysowany co najmniej 25 razy na sekundę Służy to oszukaniu naszego mózgu – ludzkie oko nie potrafi reagować na zmiany świetlne tak szybko, dlatego rysowane kolejno linie zlewają się nam w jeden kompletny obraz.

Dzięki za przeczytanie mojego artykułu! Zapraszam Cię do polubienia bloga na fb.com/TeoriaElektryki oraz do zapisu na newsletter poniżej, dzięki czemu nie ominą Cię kolejne artykuły!

Bibliografia

Podstawy teorii pola elektromagnetycznego – Z. Piątek, P. Jabłoński, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa

Mobilny Niezbędnik Elektryka

Sprawdź!

A może chciałbyś przeczytać ciekawą książkę?

Pewnie!

Ten post ma 9 komentarzy

Oleg 23 lis 2023 Odpowiedz

Część
Jeżeli zamiast pozytywnego ładunku włożymy tam miedziany kabel pod kątem 90 stopni to w kablu zacznie płynie prąd?
Tetiana 18 wrz 2023 Odpowiedz

Witam serdecznie! Bardzo dziękuję za tak fascynuje opisanie i wykłady tematów fizycznych. Chciałbym napisać prywatnie o niektórych zagadnieniach.
Z wyrazami szacunku, T.Grott
1. Artur Szulc 22 wrz 2023 Odpowiedz
  
  Dzień dobry,
  Jestem zawsze dostępny mailowo pod adresem kontakt@teoriaelektryki.pl i odpowiadam na każde pytanie (na które potrafię). Pozdrawiam również.
Dominik 21 lip 2021 Odpowiedz

Dzień dobry, jak w „Sposób 3 – Długość wektora i wektor jednostkowy” można zmieniać kierunek?
1. Artur Szulc 22 lip 2021 Odpowiedz
  
  Cześć!
  
  W sposobie numer 3 nie zagłębiałem się przesadnie w szczegóły, bo jest to nieco bardziej skomplikowane i nie każdemu potrzebne. Ale zasadniczo chodzi o to, że zmienna „u z daszkiem” sama w sobie jest tak naprawdę małym wektorem opisanym za pomocą dwóch zmiennych [x,y]. Oczywiście te wartości są odpowiednio małe, tak by wektor „u z daszkiem” miał zawsze wartość 1. Mimo to, zmieniając współrzędne tego wektora, zmieniamy jego kieurnek.
Robert 11 sie 2019 Odpowiedz

A czy istniała by możliwość wysłania do pana prywatnej wiadomości?chciałbym się parę rzeczy zapytać oczywiście jak by nie był to żaden problem?
1. TeoriaElektryki 12 sie 2019 Odpowiedz
  
  Żaden problem :). Możesz napisać na kontakt@teoriaelektryki.pl lub na facebook’u. Jak ci wygodnie 🙂
Robert 11 sie 2019 Odpowiedz

Witam nie ukrywam że wektory są dla mnie dość trudnym zagadnieniem,ale dzięki panu już coś tam mi świta za co bardzo dziękuję.
A czy planuje pan może coś o wykresach wektorowych?przeglądałem parę książek z podstaw elektrotechniki i przyznam się szczerze że ciężko to łapię.Pan te wszystkie zagadnienia opisuje w taki dość zrozumiały i ciepły do przyswojenia sposób za co duży plus.
Głównie chodzi mi o wykresy napięć i ich zależności w układach trójfazowych,wykres mocy przy prądzie przemiennym itp.
1. TeoriaElektryki 11 sie 2019 Odpowiedz
  
  Również zauważyłem, że objaśnianie wykresów wektorowych prądu i napięcia (tzw. wskazów) nie wychodzi w podręcznikach najlepiej. I owszem – prędzej czy później będę musiał poruszyć ten temat. Z tym, że trudno mi powiedzieć kiedy. Najpierw będziemy musieli przebrnąć przez całą sieć jednofazową, a przy tempie dwóch artykułów w miesiącu może to zająć jakieś pół roku. Nie pozostaje mi nic innego jak zaprosić do śledzenia mojej strony w dowolnie wybrany przez Ciebie sposób i oczekiwania na pojawiające się, kolejne artykuły. Miejmy nadzieję, że znajdę wkrótce dodatkowy czas na pisanie artykułów, wtedy pewnie będą pojawiać się częściej. Pozdrawiam!